利用分支限界算法解决0-1背包问题，用 C语言实现。并概述解题思路

分支限界算法是一种用于解决优化问题的算法，它通过枚举问题的所有可能解并依次计算它们的代价或价值，来找到最优解或次优解。对于0-1背包问题，我们可以使用分支限界算法来求解。

0-1背包问题是指有n个物品和一个容量为c的背包，每个物品有重量w和价值v，要求在不超过背包容量的情况下，选择一些物品放入背包中，使得背包内的物品总价值最大。这是一个NP完全问题，因此我们需要使用一些优化算法来解决。

分支限界算法的思路如下：首先将所有物品按照单位重量的价值从大到小排序，然后从第一个物品开始，计算选择该物品和不选择该物品两种情况下的背包内物品总价值上界，取其中较大的作为当前节点的上界。然后将当前节点拆分成两个子节点，分别代表选择该物品和不选择该物品两种情况。对于每个子节点，重复上述步骤，计算上界并拆分成更多的子节点。直到所有子节点都无法产生更优的解为止，此时最优解即为最大上界对应的方案。

下面是C语言实现0-1背包问题的分支限界算法的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 100

typedef struct node{
    int level; // 当前节点所在的层数
    int weight; // 背包中物品的总重量
    int value; // 背包中物品的总价值
    float bound; // 当前节点的上界
} Node;

typedef struct heap{
    Node data[N]; // 存储节点的数组
    int size; // 堆的大小
} Heap;

int w[N], v[N], x[N]; // w为每个物品的重量，v为每个物品的价值，x为每个物品是否被选择
int n, c; // n为物品的数量，c为背包的容量

// 计算当前节点的上界
float upper_bound(Node node) {
    if (node.weight >= c) // 如果当前节点的背包已经超出容量，则上界为0
        return 0.0;
    float bound = node.value; // 当前节点背包中的物品总价值
    int i = node.level; // 从当前节点开始枚举物品
    int left_weight = c - node.weight; // 剩余的背包容量
    while (i < n && left_weight > 0) {
        if (w[i] <= left_weight) { // 如果背包还可以放下当前物品
            bound += v[i]; // 加上当前物品的价值
            left_weight -= w[i]; // 更新剩余的背包容量
        } else { // 如果背包放不下当前物品
            bound += v[i] * (float) left_weight / w[i]; // 加上当前物品部分的价值
            break;
        }
        i++; // 继续枚举下一个物品
    }
    return bound;
}

// 将一个节点插入堆中
void insert(Heap* h, Node node) {
    if (h->size == N) { // 如果堆已满，则无法插入节点
        printf("Heap is full\n");
        return;
    }
    h->size++;
    int i = h->size;
    while (i > 1 && node.bound > h->data[i / 2].bound) { // 将节点插入堆中并保持堆的性质
        h->data[i] = h->data[i / 2];
        i /= 2;
    }
    h->data[i] = node;
}

// 从堆中删除一个节点
Node delete(Heap* h) {
    Node root = h->data[1];
    h->data[1] = h->data[h->size];
    h->size--;
    int i = 1;
    while (i * 2 <= h->size) { // 将堆调整为最大堆
        int child = i * 2;
        if (child + 1 <= h->size && h->data[child + 1].bound > h->data[child].bound)
            child++;
        if (h->data[i].bound < h->data[child].bound) {
            Node temp = h->data[i];
            h->data[i] = h->data[child];
            h->data[child] = temp;
            i = child;
        } else
            break;
    }
    return root;
}

// 分支限界算法求解0-1背包问题
int knapsack() {
    Heap* h = (Heap*) malloc(sizeof(Heap));
    h->size = 0;
    Node root = {0, 0, 0, upper_bound((Node) {0, 0, 0, 0.0})}; // 根节点的上界为所有物品的总价值
    insert(h, root);
    while (h->size > 0) {
        Node node = delete(h); // 从堆中取出一个节点
        int level = node.level + 1; // 计算新节点的层数
        if (level > n) // 如果已经枚举完所有物品，则返回当前背包的价值
            return node.value;
        int weight = node.weight; // 计算选择当前物品的新节点
        if (weight + w[level - 1] <= c) { // 如果可以选择当前物品
            Node new_node = {level, weight + w[level - 1], node.value + v[level - 1], upper_bound((Node) {level, weight + w[level - 1], node.value + v[level - 1], 0.0})};
            insert(h, new_node); // 将新节点插入堆中
        }
        weight = node.weight; // 计算不选择当前物品的新节点
        float upper = upper_bound((Node) {level, weight, node.value, 0.0}); // 计算新节点的上界
        if (upper > h->data[1].bound) { // 如果新节点的上界比当前堆中最大的上界还要大
            Node new_node = {level, weight, node.value, upper};
            insert(h, new_node); // 将新节点插入堆中
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &c);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d %d", &w[i], &v[i]);
    printf("%d\n", knapsack());
    return 0;
}

在上述代码中，我们使用了一个堆来存储节点，并且使用了结构体来保存每个节点的信息，包括当前节点的层数、背包中物品的总重量、背包中物品的总价值和上界。在计算当前节点的上界时，我们从当前节点开始枚举物品，并计算选择每个物品和不选择每个物品两种情况下的背包内物品总价值上界，取其中较大的作为当前节点的上界。在插入和删除节点时，我们使用了堆来保持节点按照上界大小的最大堆性质。最后，我们调用`knapsack()`函数来求解0-1背包问题。