1. Let a zero-mean white noise with variance $\sigma_x^2$ pass a linear system with transfer function $H(z)$ given by $$ H(z)=\frac{1}{1-a z^{-1}} \quad 0<a<1 $$ Please determine the output variance $\sigma_y^2$. What is $\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}$ ?这道题中文具体解题步骤
时间: 2023-07-24 09:33:51 浏览: 49
设输入信号为 $x[n]$,输出信号为 $y[n]$,则有$$
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k],
$$其中,$h[k]$ 为系统的单位脉冲响应,即$$
h[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{H(z)\}a^n u[n],
$$其中,$\mathcal{Z}^{-1}$ 表示反 $\mathcal{Z}$ 变换,$u[n]$ 表示单位阶跃函数。
对于本题,系统的单位脉冲响应为$$
h[n]=\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{1}{1-a z^{-1}}\right\}a^n u[n]=a^nu[n]-a^{n+1}u[n+1],
$$则输出信号为$$
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(a^ku[n]-a^{k+1}u[n+1])x[n-k].
$$
由于 $x[n]$ 是白噪声,且均值为 $0$,方差为 $\sigma_x^2$,因此$$
\begin{aligned}
E\{y[n]\}&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(a^ku[n]-a^{k+1}u[n+1])E\{x[n-k]\}=0,\\
E\{y^2[n]\}&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(a^ku[n]-a^{k+1}u[n+1])^2 E\{x^2[n-k]\}\\
&=\sigma_x^2\sum_{k=-\infty}^{\infty}(a^ku[n]-a^{k+1}u[n+1])^2\\
&=\sigma_x^2\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}a^{2k}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}a^{2(k+1)}-2\sum_{k=-\infty}^{\infty}a^{k(k+1)}\right)\\
&=\frac{\sigma_x^2}{1-a^2}.
\end{aligned}
$$
因此,输出信号的方差为$$
\sigma_y^2=\frac{\sigma_x^2}{1-a^2},
$$输入输出信号的功率比为$$
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}=\frac{1}{1-a^2}.
$$
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