节点度分布二阶矩证明<k^2>=<k>+(<k>)^2

在一个无向图中，节点度数k是指与某个节点相连的边数。节点度分布就是指在整个图中，不同节点的度数出现的频率分布情况。具体来说，如果我们统计了每个节点度数为k的节点数n(k)，那么n(k)就是节点度分布。

我们先来看一下节点度分布的一阶矩，即所有节点度数的平均值：

<k> = (k1*n1 + k2*n2 + ... + kn*nn) / N

其中，k1、k2、...、kn表示不同的节点度数，n1、n2、...、nn表示对应节点数，N表示整个图中的节点数。

接下来，我们来计算节点度分布的二阶矩：

<k^2> = (k1^2*n1 + k2^2*n2 + ... + kn^2*nn) / N

我们可以将<k^2>展开：

<k^2> = [(k1*n1 + k2*n2 + ... + kn*nn) + (k1^2*n1 + k2^2*n2 + ... + kn^2*nn - k1*n1 - k2*n2 - ... - kn*nn)] / N

然后，我们可以将第一个括号中的内容用节点度分布的一阶矩来替换，得到：

<k^2> = [<k>*N + (k1^2*n1 + k2^2*n2 + ... + kn^2*nn - k1*n1 - k2*n2 - ... - kn*nn)] / N

我们再来看第二个括号中的内容。我们可以将它写成下面这个形式：

(k1^2*n1 + k2^2*n2 + ... + kn^2*nn - k1*n1 - k2*n2 - ... - kn*nn) = (k1*n1*(k1-1) + k2*n2*(k2-1) + ... + kn*nn*(kn-1))

也就是说，这个表达式实际上是每个节点的度数乘以它自己减1之和。这个式子的意义在于，对于每个节点，它的度数可以分解为两个部分：一个是它自己的度数，另一个是它与其他节点相连的边所组成的度数。因此，这个式子就是计算所有节点与其他节点相连的边所组成的度数之和。

回到上面的式子，我们将第二个括号用上面的式子来替换，得到：

<k^2> = [<k>*N + (k1*n1*(k1-1) + k2*n2*(k2-1) + ... + kn*nn*(kn-1))] / N

我们注意到，k1、k2、...、kn是不同的节点度数，而n1、n2、...、nn则是对应的节点数。因此，我们可以将(k1-1)、(k2-1)、...、(kn-1)分别写成n1/(n1+1)、n2/(n2+1)、...、nn/(nn+1)的形式，得到：

<k^2> = [<k>*N + (k1*n1*n1/(n1+1) + k2*n2*n2/(n2+1) + ... + kn*nn*nn/(nn+1))] / N

我们将<k>用N除以N，得到：

<k^2> = <k> + [(k1*n1*n1/(n1+1) + k2*n2*n2/(n2+1) + ... + kn*nn*nn/(nn+1))] / N

现在，我们需要证明的是：

(k1*n1*n1/(n1+1) + k2*n2*n2/(n2+1) + ... + kn*nn*nn/(nn+1)) = <k>*(<k>+1)

我们可以将左边的式子写成下面这个形式：

(k1*n1*n1/(n1+1) + k2*n2*n2/(n2+1) + ... + kn*nn*nn/(nn+1)) = (k1*n1/(n1+1) + k2*n2/(n2+1) + ... + kn*nn/(nn+1)) * (k1*n1 + k2*n2 + ... + kn*nn) / N

我们注意到，k1*n1/(n1+1)、k2*n2/(n2+1)、...、kn*nn/(nn+1)是节点度分布的修正系数，它们表示的是，每个节点的度数应该按照它自己所在的度数区间进行修正。例如，对于度数为k1的节点，它应该按照n1/(n1+1)的系数进行修正。这个系数的意义在于，由于我们在统计节点度分布时，每个节点的度数被算作一个整数，因此会存在误差。修正系数就是用来纠正这个误差的。

接下来，我们将右边的式子用<k>来替换，得到：

(k1*n1*n1/(n1+1) + k2*n2*n2/(n2+1) + ... + kn*nn*nn/(nn+1)) = <k> * (<k>*N) / N

我们将<N>用<k>*N来代替，得到：

(k1*n1*n1/(n1+1) + k2*n2*n2/(n2+1) + ... + kn*nn*nn/(nn+1)) = <k> * (<k>+1)

因此，我们就证明了节点度分布的二阶矩<k^2>=<k>+(<k>)^2。