不调用minimize,如何实现信赖域狗腿算法
时间: 2023-06-26 14:03:26 浏览: 160
实现信赖域狗腿算法的一般步骤如下:
1. 初始化参数向量x和信赖域半径$\Delta_0$,设初始步长$s_0$。
2. 对于当前的参数向量$x_k$,计算梯度向量$g_k$。
3. 在信赖域半径$\Delta_k$内,求解以下问题:
$$
\min\limits_{s\in\mathbb{R}^n}\left\{m_k(s) = f_k + g_k^Ts+\frac{1}{2}s^TB_ks\right\}\\
s.t. \quad \left\|s\right\|\leq \Delta_k
$$
其中,$f_k$为目标函数在$x_k$处的函数值,$B_k$为Hessian矩阵的近似矩阵,可选用牛顿法的近似矩阵或拟牛顿法的近似矩阵。
4. 判断步长:
* 如果满足$s_k$为可行解且对目标函数的改进足够大,则接受步长$s_k$,更新$x_{k+1}=x_k+s_k$;
* 否则,缩小信赖域半径$\Delta_k$,重新求解子问题,直到找到可行解为止。
5. 更新信赖域半径:如果步长$s_k$的长度大于信赖域半径的$\frac{3}{4}$,则增大信赖域半径;如果步长$s_k$的长度小于信赖域半径的$\frac{1}{4}$,则缩小信赖域半径。否则,不改变信赖域半径。
6. 重复步骤2-5,直到满足收敛条件。
需要注意的是,信赖域半径的设定和更新策略对算法的收敛性和效率有重要影响,具体的设计需要结合实际问题和算法性质进行优化。
相关问题
不调用minimize,如何实现信赖域狗腿算法Python代码
信赖域狗腿算法的 Python 代码如下所示:
```python
import numpy as np
def dogleg(f, grad_f, hessian_f, delta):
"""
信赖域狗腿算法
:param f: 目标函数
:param grad_f: 目标函数的梯度
:param hessian_f: 目标函数的 Hessian 矩阵
:param delta: 信赖域半径
:return: 信赖域狗腿算法的最优解
"""
x = np.zeros(grad_f.shape[0])
g = grad_f(x)
B = hessian_f(x)
# 计算步长的两种方法
p_cgn = -np.linalg.solve(B, g) # 共轭梯度法
p_sd = -g / np.linalg.norm(g) * delta # 最速下降法
# 计算预测下降量和实际下降量
pred = -g.T @ p_cgn - 0.5 * p_cgn.T @ B @ p_cgn
if pred <= 0:
p = p_cgn
elif np.linalg.norm(p_sd) >= delta:
p = -g / np.linalg.norm(g) * delta
else:
# 计算狗腿点
a = p_sd.T @ p_sd
b = 2 * p_sd.T @ (p_cgn - p_sd)
c = np.linalg.norm(p_cgn - p_sd) ** 2 - delta ** 2
tau = (-b + np.sqrt(b ** 2 - 4 * a * c)) / (2 * a)
p = p_sd + tau * (p_cgn - p_sd)
# 计算实际下降量
q = f(x + p)
act = -g.T @ p - 0.5 * p.T @ B @ p
# 更新 Hessian 矩阵
rho = (f(x) - q) / (pred - act)
if rho < 0.25:
delta *= 0.25
elif rho > 0.75 and np.abs(np.linalg.norm(p) - delta) < 1e-8:
delta = min(2 * delta, 1000)
if rho > 0:
x += p
g = grad_f(x)
B += (g @ g.T) / (g.T @ p) - (B @ p @ p.T @ B) / (p.T @ B @ p)
return x
```
其中,`f`、`grad_f` 和 `hessian_f` 分别是目标函数、目标函数的梯度和目标函数的 Hessian 矩阵。`delta` 是初始的信赖域半径。函数返回信赖域狗腿算法的最优解。
信赖域算法python
信赖域算法是一种优化算法,用于解决无约束或约束优化问题。在Python中,可以使用SciPy库中的optimize.minimize函数来实现信赖域算法。其中,minimize函数中的method参数可以设置为"trust-constr",即使用信赖域算法来最小化目标函数。
以下是一个简单的例子:
```python
from scipy.optimize import minimize
# 定义目标函数
def objective_function(x):
return x[0]**2 + x[1]**2 + x[2]**2
# 定义约束条件
def constraint_function(x):
return x[0] + x[1] + x[2] - 1.0
# 定义变量的初始值
x0 = [1.0, 2.0, 3.0]
# 定义约束条件的类型和边界
con = {'type': 'eq', 'fun': constraint_function}
# 使用信赖域算法寻找最小值
result = minimize(objective_function, x0, method='trust-constr', constraints=con)
print(result)
```
在上面的例子中,我们定义了一个目标函数和一个约束条件,并使用信赖域算法寻找最小值。最终的输出结果将包含最小值及其对应的变量值。注意,由于信赖域算法是一种局部优化算法,因此可能会收敛到局部最小值而不是全局最小值。