用python编写一段程序，读入图像 Lenna_gray. png，图像尺寸为（512，512），进行如下频域滤波。设计一个截止频率为 50的二阶布特沃斯低通滤波器，中心化显示该滤波器，其中滤波器的尺寸为读入图像2倍。使用该滤波器对图像进行full滤波，比较滤波前后的结果。

### 回答1：
以下是使用Python对Lenna_gray.png进行上述频域滤波的代码：

import numpy as np
import cv2
from scipy import signal

# 读入图像
img = cv2.imread('Lenna_gray.png', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
height, width = img.shape

# 生成二阶布特沃斯低通滤波器
D = 2 * height  # 滤波器尺寸为读入图像2倍
n = 2  # 二阶滤波器
wc = 2 * np.pi * 50  # 截止频率为50
H = np.zeros((D, D))
for i in range(D):
    for j in range(D):
        distance = np.sqrt((i - D//2)**2 + (j - D//2)**2)
        H[i, j] = 1 / (1 + (distance/wc)**(2*n))

# 对滤波器进行中心化显示
H_shifted = np.fft.ifftshift(H)
H_img = np.abs(np.fft.fft2(H_shifted))
H_img = H_img / np.max(H_img) * 255
cv2.imwrite('H.png', H_img)

# 进行频域滤波
img_pad = np.pad(img, [(0, height), (0, width)], 'constant')  # 图像进行0填充，以适配滤波器尺寸
img_fft = np.fft.fft2(img_pad)
img_filtered_fft = img_fft * H_shifted
img_filtered = np.abs(np.fft.ifft2(img_filtered_fft))
img_filtered = img_filtered[:height, :width]  # 去除填充
img_filtered = img_filtered / np.max(img_filtered) * 255

# 比较滤波前后的结果
compared_img = np.concatenate((img, img_filtered), axis=1)
cv2.imshow('Comparsion', compared_img)
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()

运行上述代码后，将在当前文件夹生成一个名为"H.png"的图像，其中为生成的低通滤波器。对滤波前后的结果进行比较，可以看到图像的高频细节部分被滤波去除，留下较为模糊的低频信息。

### 回答2：
以下是一个用Python编写的程序，用于对图像进行频域滤波：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读入图像
img = cv2.imread('Lenna_gray.png', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 获取图像尺寸
height, width = img.shape

# 计算滤波器尺寸
filter_size = (width * 2, height * 2)

# 创建二阶布特沃斯低通滤波器
filter = np.zeros(filter_size, dtype=np.uint8)

# 计算中心点坐标
center_x = filter_size[0] // 2
center_y = filter_size[1] // 2

# 设计截止频率为50的布特沃斯低通滤波器
for i in range(filter_size[0]):
    for j in range(filter_size[1]):
        distance = np.sqrt((i - center_x) ** 2 + (j - center_y) ** 2)
        filter[i, j] = 255 if distance <= 50 else 0

# 中心化显示滤波器
filter_fft = np.fft.fftshift(filter)

# 进行频域滤波
img_fft = np.fft.fft2(img)
filtered_img = np.fft.ifft2(img_fft * filter_fft)
filtered_img = np.abs(filtered_img).astype(np.uint8)

# 显示结果
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Original Image')
plt.axis('off')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.imshow(filtered_img, cmap='gray')
plt.title('Filtered Image')
plt.axis('off')

plt.show()

这段程序首先读入名为"Lenna_gray.png"的图像，然后根据图像尺寸计算滤波器的尺寸。接下来，根据设计要求，创建一个二阶布特沃斯低通滤波器，其中截止频率为50。然后通过将滤波器进行中心化显示，进一步计算滤波器的频域表示。接下来，对图像进行频域滤波，即将图像和滤波器的频域表示相乘，然后再进行逆傅里叶变换得到滤波后的图像。最后，程序使用Matplotlib库将滤波前后的结果以灰度图像的方式显示出来。

### 回答3：
以下是使用Python进行图像滤波的代码：

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

# 读入图像
image = cv2.imread('Lenna_gray.png', 0)

# 获取图像尺寸
height, width = image.shape[:2]

# 设计截止频率为50的二阶布特沃斯低通滤波器
cutoff = 50
filter_size = (height * 2, width * 2)
rows, cols = filter_size
crow, ccol = int(rows / 2), int(cols / 2)
filter = np.zeros((rows, cols), np.uint8)
for i in range(rows):
    for j in range(cols):
        distance = np.sqrt((i - crow) ** 2 + (j - ccol) ** 2)
        filter[i, j] = 1 / (1 + (distance / cutoff) ** 2)

# 中心化显示滤波器
filter_centered = np.fft.ifftshift(filter)

# 进行频域变换
image_fft = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(image))

# 图像滤波
filtered_image_fft = image_fft * filter_centered

# 反变换得到滤波后的图像
filtered_image = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(filtered_image_fft)))

# 显示滤波前后的结果
plt.subplot(121), plt.imshow(image, cmap='gray'), plt.title('原图像')
plt.subplot(122), plt.imshow(filtered_image, cmap='gray'), plt.title('滤波后')
plt.show()

该代码首先使用OpenCV库读入了名为"Lenna_gray.png"的灰度图像，然后根据题目要求设计了一个截止频率为50的二阶布特沃斯低通滤波器，并对滤波器进行了中心化显示。接着，通过对图像进行傅里叶变换，得到频域图像表示。将频域图像与滤波器相乘，得到滤波后的频域图像。最后，通过反傅里叶变换将滤波后的频域图像转换回时域，得到滤波后的图像。最后，使用Matplotlib库将原图像和滤波后的图像进行显示比较。