随机梯度下降法在后验停机准则下的收敛性

随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）是一种常用的优化算法，用于训练机器学习模型。在SGD中，每次迭代只使用训练集中的一个样本来计算梯度和更新参数，相比于批量梯度下降（Batch Gradient Descent，BGD），它不需要计算整个训练集的梯度，因此具有更快的计算速度和更小的内存占用。

在SGD中，我们可以使用后验停机准则（Posteriori Stopping Criterion）来决定何时停止迭代。后验停机准则是指当算法收敛时，迭代停止。具体来说，我们可以定义一个误差阈值，当每次迭代的误差小于该阈值时，我们认为算法已经收敛，可以停止迭代。

现在考虑SGD在后验停机准则下的收敛性。具体来说，我们假设SGD的目标函数是凸函数，并且满足Lipschitz连续性，即存在一个正常数L，使得对于任意两个点x和y，有：

||∇f(x)−∇f(y)||≤L||x−y||

其中||.||表示向量的L2范数。假设我们的目标是最小化目标函数f(x)，那么SGD的更新公式为：

x←x−η∇f(xi)

其中η是学习率，xi是从训练集中随机选取的一个样本。我们假设SGD已经收敛，即每次迭代的误差小于我们事先设定的阈值ε。那么有：

||∇f(xi)||≤ε/L

由于SGD是随机选取样本进行迭代的，因此每次迭代的梯度可能不同。我们可以使用马尔可夫不等式（Markov's inequality）来估计误差的期望值：

P(||∇f(xi)||>ε/L)≤Lε/E[||∇f(xi)||]

其中P(.)表示概率，E[.]表示期望值。由于SGD是随机选取样本进行迭代的，因此每次迭代的梯度可能不同，因此我们假设梯度的期望值为μ，即E[||∇f(xi)||]=μ。那么上式可以简化为：

P(||∇f(xi)||>ε/L)≤Lμ/ε

这个上界告诉我们，如果我们选择一个足够小的ε，那么SGD以高概率收敛。具体来说，我们可以将ε设置为一个比较小的正常数，例如0.001，那么SGD以高概率收敛的概率会非常高。

总的来说，SGD在后验停机准则下具有收敛性，收敛的概率与学习率、样本数量、目标函数的Lipschitz常数和误差阈值有关。