阈值停机准则下随机梯度下降法收敛性数值模拟并做图Matlab

阈值停机准则是指当损失函数下降到一定程度时，停止迭代更新。随机梯度下降法是一种常用的优化方法，经常用于深度学习模型的训练中。下面我将介绍如何在Matlab中进行随机梯度下降算法的收敛性数值模拟并作图。

首先，我们需要定义一个损失函数，例如：

% 定义损失函数
function loss = my_loss_function(w, x, y)
    % w: 参数向量
    % x: 特征矩阵
    % y: 标签向量
    n = length(y);
    loss = (1/n) * sum((x*w-y).^2); % 均方误差
end

然后，我们需要生成一些训练数据。这里我们使用一个简单的线性回归问题来演示。

% 生成训练数据
x = rand(100, 2); % 特征矩阵，100个样本，每个样本有2个特征
y = x*[1; 2] + randn(100, 1)*0.1; % 真实标签

接着，我们需要实现随机梯度下降算法。

% 随机梯度下降算法
function w = my_sgd(x, y, w_init, alpha, threshold)
    % x: 特征矩阵
    % y: 标签向量
    % w_init: 初始参数向量
    % alpha: 学习率
    % threshold: 停机阈值
    n = length(y);
    w = w_init;
    loss = my_loss_function(w, x, y);
    while loss > threshold
        i = randi(n); % 随机选取一个样本
        xi = x(i, :);
        yi = y(i);
        grad = 2*xi'*(xi*w-yi); % 计算梯度
        w = w - alpha*grad; % 更新参数
        loss = my_loss_function(w, x, y); % 计算损失函数
    end
end

最后，我们可以调用上面的函数进行模拟，并画出损失函数随迭代次数的变化曲线。

% 进行随机梯度下降算法的模拟
w_init = [0; 0]; % 初始参数向量
alpha = 0.01; % 学习率
threshold = 0.01; % 停机阈值
w = my_sgd(x, y, w_init, alpha, threshold);

% 画出损失函数随迭代次数的变化曲线
niter = 10000;
loss_history = zeros(niter, 1);
for i = 1:niter
    loss_history(i) = my_loss_function(w, x, y);
    w = my_sgd(x, y, w, alpha, threshold);
end
plot(1:niter, loss_history);
xlabel('迭代次数');
ylabel('损失函数');

运行上面的代码，我们可以得到一张损失函数随迭代次数的变化曲线图。这张图表明，随机梯度下降算法的收敛速度很快，在几千次迭代后就已经收敛了。

如果你想要进一步了解随机梯度下降算法及其变种，可以参考深度学习相关的教材和论文。