206x≡114(mod 422)

这是一个同余方程（congruence equation），可以通过求解来得到 x 的值。首先，我们可以将等式两边同时除以最大公约数（gcd）来简化它。使用辗转相除法（Euclidean algorithm）可以得到 gcd(206, 422) = 2，因此我们可以将原方程化简为:

103x ≡ 57 (mod 211)

接下来，我们需要求出 103 在模 211 意义下的逆元（inverse），记作 a。也就是说，我们需要找到一个整数 a，使得 a 和 103 的乘积模 211 等于 1。使用扩展欧几里得算法（extended Euclidean algorithm）可以得到 a = 103^{-1} ≡ 179 (mod 211)。

现在我们可以将原方程两边同时乘以 a，得到：

x ≡ 179 * 57 ≡ 159 (mod 211)

因此，x 的值为 159。

相关问题

24x≡42mod30

首先，我们可以将等式化简为 8x ≡ 14 (mod 10)，然后再进一步化简为 4x ≡ 7 (mod 5)。

现在，我们需要找到一个数 y，使得 4y ≡ 1 (mod 5)，因为这样我们就可以将等式两边同时乘以 y，得到 x ≡ 7y (mod 5)。

我们可以试着枚举 y 的取值，发现当 y = 4 时，4y ≡ 1 (mod 5)。因此，我们可以将等式两边同时乘以 4，得到 x ≡ 28 ≡ 3 (mod 5)。

综上所述，原方程的解为 x ≡ 3 (mod 5)。

17x≡14mod(21)

首先，我们需要确定x的值。为此，我们可以使用扩展欧几里得算法来求解17和21的最大公因数以及它们的贝祖等式的系数：

21 = 17 × 1 + 4
17 = 4 × 4 + 1
4 = 1 × 4 + 0

由此可知，17和21的最大公因数为1。接下来，我们可以使用逆元的概念，即求出一个整数y，使得17y ≡ 1 mod(21)。为此，我们需要使用贝祖等式的系数来进行逆元的求解：

1 = 17 - 4 × 4
  = 17 - 4 × (21 - 17 × 1)
  = 17 × 5 - 4 × 21

因此，我们发现17 × 5 ≡ 1 mod(21)。现在，我们可以将x的值求出来：

17x ≡ 14 mod(21)
5 × 17x ≡ 5 × 14 mod(21)
85x ≡ 70 mod(21)
16x ≡ 7 mod(21)

现在，我们需要找到一个整数z，使得16z ≡ 1 mod(21)。通过使用扩展欧几里得算法，我们可以求出：

21 = 16 × 1 + 5
16 = 5 × 3 + 1
5 = 1 × 5 + 0

因此，16和21的最大公因数为1，且：

1 = 16 - 5 × 3
  = 16 - (21 - 16 × 1) × 3
  = 16 × 4 - 21 × 3

因此，我们发现16 × 4 ≡ 1 mod(21)。现在，我们可以将x的值求出来：

16x ≡ 7 mod(21)
4 × 16x ≡ 4 × 7 mod(21)
64x ≡ 28 mod(21)
x ≡ 7 mod(21)

因此，方程的解为x ≡ 7 mod(21)。