计算S=1!+4!+7!+10!+...n

首先，我们可以观察到这个序列中每个数都是以3为间隔的阶乘的乘积。因此，我们可以将其表示为：

S = (1!) * (4!) * (7!) * (10!) * ... * ((3n-2)!)

接下来，我们可以使用Stirling公式来近似计算每个阶乘的值。Stirling公式表示为：

n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n

将Stirling公式代入到S中，我们得到：

S ≈ √(2π) * (1/e)^1 * √(2π*4) * (4/e)^4 * √(2π*7) * (7/e)^7 * ... * √(2π*(3n-2)) * ((3n-2)/e)^(3n-2)

简化后，我们得到：

S ≈ (2π)^(n/2) * (1/e)^(1+4+7+...+(3n-2)) * (3n-2)^(3n-2)/2 * (1*4*7*...*(3n-2))^(1/2)

注意到1*4*7*...*(3n-2)是一个等差数列的乘积，因此可以使用等差数列求和公式来计算它的值。等差数列求和公式表示为：

Sn = n/2 * (a1 + an)

其中，a1是首项，an是末项，n是项数。对于本题中的等差数列，a1=1，an=3n-2，n=(n-1)/3+1。将这些值代入公式中，我们得到：

1*4*7*...*(3n-2) = (n-1)/3+1 * (1 + 3n-2)/2 = n * (3n-1)/2

将这个结果代入到S中，我们得到：

S ≈ (2π)^(n/2) * (1/e)^(1+4+7+...+(3n-2)) * (3n-2)^(3n-2)/2 * [n * (3n-1)/2]^(1/2)

化简后，我们得到：

S ≈ (2π)^(n/2) * [(3n-1)/2]^(n/2) * (1/e)^(n^2/2 - n/2)

因此，计算S的近似值为：

S ≈ (2π)^(n/2) * [(3n-1)/2]^(n/2) * (1/e)^(n^2/2 - n/2)

注意到这个公式是一个近似值，因此在计算时可能会存在误差。