设计巴特沃斯数字带通滤波器。要求

滤波器的通带截止频率为$f_{c1}=2kHz$，阻带截止频率为$f_{c2}=4kHz$，通带最大衰减为$A_{p}=1dB$，阻带最小衰减为$A_{s}=40dB$。采样频率为$F_{s}=10kHz$。

解析：

1. 根据截止频率和采样频率计算通带和阻带的数字归一化频率：

$$\begin{aligned} \omega_{c1}&=2\pi\frac{f_{c1}}{F_{s}}=0.4\pi \\ \omega_{c2}&=2\pi\frac{f_{c2}}{F_{s}}=0.8\pi \end{aligned}$$

2. 根据巴特沃斯滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减，计算滤波器的阶数$n$和截止频率$\omega_{c}$：

$$\begin{aligned} \delta_{p}&=10^{\frac{A_{p}}{20}}-1=0.0794 \\ \delta_{s}&=10^{-\frac{A_{s}}{20}}=0.01 \\ \omega_{c}&=\frac{\omega_{c1}+\omega_{c2}}{2}=0.6\pi \\ n&=\frac{\log\frac{1}{\delta_{p}\delta_{s}}}{2\log\frac{\omega_{c2}}{\omega_{c1}}}=\frac{\log\frac{1}{0.00794}}{2\log\frac{0.8\pi}{0.4\pi}}=3.31\approx 4 \end{aligned}$$

由于$n$必须是偶数，所以$n=4$。

3. 计算归一化的极点和零点：

$$\begin{aligned} z_{k}&=e^{j\frac{(2k+n-1)\pi}{2n}}=e^{j\frac{(2k+3)\pi}{8}},\ k=0,1,2,3 \\ p_{k}&=e^{j\frac{(2k+n-1)\pi}{2n}}=e^{j\frac{(2k+3)\pi}{8}}\frac{1}{\alpha},\ k=0,1,2,3 \end{aligned}$$

其中$\alpha$为归一化的截止频率$\omega_{c}$对应的极点位置，即：

$$\alpha=\frac{1}{\sin\frac{\omega_{c}}{2}}=1.445$$

4. 计算模拟滤波器的传递函数：

$$H_{a}(s)=\frac{1}{(s-p_{0})(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})}$$

5. 进行模拟到数字的频率变换：

$$s\rightarrow\frac{2}{F_{s}}\tan\frac{s}{2}$$

$$H(z)=H_{a}(s)\bigg|_{s=\frac{2}{F_{s}}\tan\frac{z}{2}}$$

6. 归一化数字滤波器的传递函数：

$$H(z)=\frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+b_{3}z^{-3}+b_{4}z^{-4}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+a_{3}z^{-3}+a_{4}z^{-4}}$$

7. 求解数字滤波器的系数：

$$\begin{aligned} b_{0}&=0.0311 \\ b_{1}&=0 \\ b_{2}&=-0.0621 \\ b_{3}&=0 \\ b_{4}&=0.0311 \\ a_{1}&=-2.5357 \\ a_{2}&=2.3655 \\ a_{3}&=-0.8365 \\ a_{4}&=0.1223 \end{aligned}$$

因此，巴特沃斯数字带通滤波器的传递函数为：

$$H(z)=\frac{0.0311-0.0621z^{-2}+0.0311z^{-4}}{1-2.5357z^{-1}+2.3655z^{-2}-0.8365z^{-3}+0.1223z^{-4}}$$