设Ω为有界区域,f属于H^1(Ω),定义f Ω=(1/Ω)∫ Ωf(x)dx,证明Poincare不等式
时间: 2024-01-26 20:05:17 浏览: 22
首先,根据定义,我们有:
f Ω = (1/|Ω|) ∫Ω f(x) dx
其中|Ω|表示Ω的体积。
接下来,我们可以使用 Cauchy-Schwarz 不等式,得到:
|f Ω| ≤ (1/|Ω|) ∫Ω |f(x)| dx
然后,我们可以利用 Hölder 不等式,得到:
|f Ω| ≤ (1/|Ω|) (|Ω| ∫Ω |f(x)|^2 dx)^(1/2)
因为 f 属于 H^1(Ω),所以 |f(x)|^2 在Ω中是可积的,即:
∫Ω |f(x)|^2 dx < ∞
因此,我们可以将上述不等式改写为:
|f Ω| ≤ C ||f||H^1(Ω)
其中 C 是一个常数,||f||H^1(Ω) 是 f 在 H^1(Ω)中的范数。
最后,我们可以利用这个不等式来证明 Poincare 不等式。假设 u 是 H^1(Ω) 中的一个函数,并且它在边界上为零。那么,我们有:
|u| = |u - u Ω| ≤ C ||u||H^1(Ω)
其中 C 是上面讨论过的常数。因此,我们得到:
||u||L^2(Ω) ≤ C ||∇u||L^2(Ω)
这就是 Poincare 不等式。
相关问题
设Ω为有界区域,f属于H0(Ω),证明Sobolev不等式
对于有界区域Ω和f属于H0(Ω),Sobolev不等式的表述为:
||f||L^p(Ω) ≤ C||∇f||L^p(Ω)
其中,||f||L^p(Ω)表示f在Ω上的L^p范数,||∇f||L^p(Ω)表示f在Ω上的梯度的L^p范数,C是一个常数。
证明:
首先,我们可以假设f是光滑的,即f属于C^1(Ω)。这是因为H0(Ω)中的函数可以通过逼近序列表示为光滑函数的极限。
现在,我们可以使用Holder不等式来证明Sobolev不等式。具体地,我们有:
||f||L^p(Ω) = ||f∂1||L^p(Ω) + ... + ||f∂n||L^p(Ω)
≤ ||f||L^p(Ω) ||∂1||L^q(Ω) + ... + ||f||L^p(Ω) ||∂n||L^q(Ω)
≤ ||f||L^p(Ω) (||∂1||L^p(Ω) + ... + ||∂n||L^p(Ω))
其中,q是与p共轭的指数,即1/p + 1/q = 1。
由于Ω是有界的,所以对于每个i,||∂i||L^p(Ω)是有界的。因此,我们可以定义常数Ci使得||∂i||L^p(Ω) ≤ Ci。
结合上面的不等式,我们得到:
||f||L^p(Ω) ≤ C ||f||L^p(Ω) (C1 + ... + Cn)
因此,我们可以得到Sobolev不等式:
||f||L^p(Ω) ≤ C ||∇f||L^p(Ω)
其中,C = (C1 + ... + Cn)是一个常数。证毕。
matlab 求∫∫∫(Ω)dV,其中Ω由x^2+y^2=1及z=0,z=2-x^2所围成
根据题目给出的条件,Ω被以下两个曲面所围成:
x^2 + y^2 = 1 (圆锥面)
z = 2 - x^2 (抛物面)
我们可以将Ω分成无穷小的体积元 dV ,并对其进行积分求和,即:
∫∫∫(Ω)dV = ∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz
由于 Ω 被 x=0, y=0, z=0, z=2-x^2 和 x^2+y^2=1 四个面所围成,我们可以对其进行三次积分:
∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz = ∫_{-1}^1∫_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}∫_0^{2-x^2}(x^2+y^2)dzdxdy
对上式进行积分,得到:
∫∫∫(Ω)dV = 8/15 π
因此,原式的值为 8/15 π 。