做1000次抛掷骰子的实验后得知抛掷点数的平均值为4.5,试利用最大熵原理求骰子各面朝上的概率分布。并给出计算过程和原理
时间: 2023-06-19 20:04:55 浏览: 80
最大熵原理是指在不确定信息量相等的情况下,选择熵最大的概率分布作为最优分布。因此,在这个问题中,我们需要确定骰子各面朝上的概率分布,使得其熵最大。
由于骰子有六个面,我们可以设各面朝上的概率分别为$p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6$,根据最大熵原理,我们需要满足以下条件:
1. 概率之和为1:$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 = 1$
2. 期望值为4.5:$1\times p_1 + 2\times p_2 + 3\times p_3 + 4\times p_4 + 5\times p_5 + 6\times p_6 = 4.5$
3. 熵最大:$-\sum_{i=1}^{6}p_i\log p_i$ 最大
我们使用拉格朗日乘数法,将问题转化为求解以下函数的最大值:
$$L(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6, \lambda_1, \lambda_2) = -\sum_{i=1}^{6}p_i\log p_i + \lambda_1(1-\sum_{i=1}^{6}p_i) + \lambda_2(4.5-\sum_{i=1}^{6}ip_i)$$
对$L$的各个自变量求偏导数,并令其等于0,得到以下方程组:
$$\begin{cases} -\log p_1 -1 -\lambda_1 -4.5\lambda_2 = 0 \\ -\log p_2 -2 -\lambda_1 -4\lambda_2 = 0 \\ -\log p_3 -3 -\lambda_1 -3\lambda_2 = 0 \\ -\log p_4 -4 -\lambda_1 -2.5\lambda_2 = 0 \\ -\log p_5 -5 -\lambda_1 -2\lambda_2 = 0 \\ -\log p_6 -6 -\lambda_1 -1.5\lambda_2 = 0 \\ p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 = 1 \\ 1\times p_1 + 2\times p_2 + 3\times p_3 + 4\times p_4 + 5\times p_5 + 6\times p_6 = 4.5 \end{cases}$$
将以上方程带入求解得到各面朝上的概率分别为:
$$p_1 = p_2 = p_3 = 0.1,\quad p_4 = 0.15,\quad p_5 = p_6 = 0.25$$
因此,骰子各面朝上的概率分布为:1、2、3、4、5、6 的概率分别为 0.1、0.1、0.1、0.15、0.25、0.25。
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