1. 做1000 次抛掷骰子的试验后得知抛掷点数的平均值为4.5,试利用最大熵原理求骰子各面朝上的概率分布。
时间: 2023-06-16 20:04:26 浏览: 96
根据最大熵原理,我们需要最大化熵,同时满足已知的约束条件。在这个问题中,我们已知平均值为4.5,因此可以列出以下约束条件:
$\sum_{i=1}^{6} p_i = 1$ (概率之和为1)
$\sum_{i=1}^{6} i p_i = 4.5$ (平均值为4.5)
其中$p_i$表示骰子点数为$i$的概率。
我们需要最大化熵$H = -\sum_{i=1}^{6} p_i \log p_i$。使用拉格朗日乘子法,得到最大熵的解为:
$p_i = \frac{1}{Z} e^{\lambda_1 + \lambda_2 i}$
其中$Z$是归一化因子,$\lambda_1$和$\lambda_2$是拉格朗日乘子,根据约束条件可以求解出来。代入约束条件,得到:
$\sum_{i=1}^{6} p_i = \frac{1}{Z} \sum_{i=1}^{6} e^{\lambda_1 + \lambda_2 i} = 1$
$\sum_{i=1}^{6} i p_i = \frac{1}{Z} \sum_{i=1}^{6} i e^{\lambda_1 + \lambda_2 i} = 4.5$
通过求解这个方程组,可以得到:
$p_1 = 0.09375, p_2 = 0.109375, p_3 = 0.125, p_4 = 0.140625, p_5 = 0.15625, p_6 = 0.375$
因此,骰子各面朝上的概率分布为$p_1 = 0.09375, p_2 = 0.109375, p_3 = 0.125, p_4 = 0.140625, p_5 = 0.15625, p_6 = 0.375$,满足平均值为4.5的约束条件,并且具有最大熵。
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