设R为N*N上的二元关系，<a,b><c,d>属于N*N，<a,b>R<c,d>= a+d=b+c 证明R为等价关系

要证明R为等价关系，需要证明以下三点：

1. 自反性：对于任意的<a,b>∈N*N，<a,b>R<a,b>成立。

显然，根据R的定义，<a,b>R<a,b>等价于a*b=b*a，即自反性成立。

2. 对称性：对于任意的<a,b>,<c,d>∈N*N，若<a,b>R<c,d>，则<c,d>R<a,b>成立。

假设<a,b>R<c,d>，则有a*d=b*c。因此，我们可以得到c*b=d*a，即<c,d>R<a,b>，因此对称性成立。

3. 传递性：对于任意的<a,b>,<c,d>,<e,f>∈N*N，若<a,b>R<c,d>且<c,d>R<e,f>，则<a,b>R<e,f>成立。

假设<a,b>R<c,d>，则有a*d=b*c；同理，<c,d>R<e,f>可以得到c*f=d*e。因此，我们可以得到a*f=b*e，即<a,b>R<e,f>，因此传递性成立。

综上所述，R为等价关系。

相关问题

设 A = {<a,b>| a,b ∈ N}，定义 A 上的一个二元关系 R = {<<a,b>,<c,d>> | ad = bc } 证明：R 是 A 上的等价关系，细致讲解一下这道题

要证明 R 是 A 上的等价关系，需要满足三个条件：自反性、对称性和传递性。

首先，证明自反性。对于任意的 <a,b> ∈ A，有 a,b ∈ N，因此 ad = ad，即 <a,b> R <a,b>，满足 R 的自反性。

其次，证明对称性。对于任意的 <a,b>, <c,d> ∈ A，若 <a,b> R <c,d>，即 ad = bc，则有 cb = da，即 <c,d> R <a,b>，满足 R 的对称性。

最后，证明传递性。对于任意的 <a,b>, <c,d>, <e,f> ∈ A，若 <a,b> R <c,d>，即 ad = bc，且 <c,d> R <e,f>，即 cf = de，则有 ae = bd = bf = cd×d/b = ce×d/f，即 <a,b> R <e,f>，满足 R 的传递性。

因此，R 是 A 上的等价关系。

求二元关系 R= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}的三种闭包，要求传递闭包用warshall方法

传递闭包的Warshall算法如下：

1. 初始化一个n*n的矩阵T，T[i][j]表示元素i和元素j是否有直接关系，如果有，则为1，否则为0。

2. 对于每一个k=1,2,...,n，进行如下操作：

a. 对于每一对i,j，如果T[i][j]=1或者(T[i][k]=1且T[k][j]=1)，则把T[i][j]置为1。

3. 最终的矩阵T就是传递闭包。

根据二元关系R= {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}，我们可以得到初始矩阵如下：

a b c d
a 1 1 0 0
b 1 1 1 0
c 0 1 0 0
d 0 0 0 1

进行Warshall算法后，得到的矩阵为：

a b c d
a 1 1 1 0
b 1 1 1 0
c 0 1 0 0
d 0 0 0 1

这就是R的传递闭包。另外两种闭包，反射闭包和对称闭包，可以通过以下方式求得：

反射闭包：对所有元素a，如果<a,a>不在R中，则加入R中。经过这个操作后，R变为{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}<a,a>已经加入，所以反射闭包为{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}。

对称闭包：对于所有<a,b>在R中的元素，如果<b,a>不在R中，则加入R中。经过这个操作后，R变为{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>}，<c,b>已经在R中，但<b,c>不在R中，所以对称闭包为{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<d,d>,<c,b>}。