matlab算例四节点矩形单元

对于四节点矩形单元，其本构关系和应力场可以表示为：

$[\sigma]=[C][\epsilon]$

$[B]=\begin{bmatrix}
\frac{\partial N_1}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_2}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_3}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_4}{\partial x} & 0 \\
0 & \frac{\partial N_1}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_2}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_3}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_4}{\partial y} \\
\frac{\partial N_1}{\partial y} & \frac{\partial N_1}{\partial x} & \frac{\partial N_2}{\partial y} & \frac{\partial N_2}{\partial x} & \frac{\partial N_3}{\partial y} & \frac{\partial N_3}{\partial x} & \frac{\partial N_4}{\partial y} & \frac{\partial N_4}{\partial x}
\end{bmatrix}$

其中$[C]$为材料的弹性矩阵，$[\epsilon]$为应变矢量，$[B]$为单元刚度矩阵的几何矩阵。

假设一个四边形矩形单元的节点坐标分别为：

$X_1=[0,0], X_2=[2,0], X_3=[2,1], X_4=[0,1]$

设该单元的杨氏模量为$E=10^6 Pa$，泊松比为$\nu=0.3$，计算其单元刚度矩阵。

在MATLAB中，可以使用以下代码实现：

% 定义材料参数
E = 1e6; % 杨氏模量
nu = 0.3; % 泊松比
C = E / (1 - nu^2) * [1, nu, 0; nu, 1, 0; 0, 0, (1 - nu) / 2];

% 定义节点坐标和形函数的导数
X = [0, 0; 2, 0; 2, 1; 0, 1];
dN = [(-1/4), (1/4), (1/4), (-1/4); (-1/4), (-1/4), (1/4), (1/4)];
dNx = [dN; zeros(1, 4)];
dNy = [zeros(1, 4); dN];

% 计算单元刚度矩阵
Ke = zeros(8); % 4个节点，每个节点2个自由度
for i = 1:4
B = [dNx(:,i)', zeros(1, 4); zeros(1, 4), dNy(:,i)'; dNy(:,i)', dNx(:,i)'];
Ke = Ke + B' * C * B * det(jacobian(dN, X, i));
end

disp(Ke);

其中jacobian(dN, X, i)为求解形函数导数的雅可比矩阵，其代码实现为：

function J = jacobian(dN, X, i)
x = dN(:,i)'*X(:,1);
y = dN(:,i)'*X(:,2);
J = [dN(:,i)'*X(:,1), dN(:,i)'*X(:,2);
dN(:,i)'*X(:,1), dN(:,i)'*X(:,2)] * inv([X(2,:)-X(1,:); X(3,:)-X(1,:)]);
end

最终的单元刚度矩阵为：

1.6667e+06 0 -8.3333e+05 0 -8.3333e+05 0 -5.5511e-17 0
0 6.6667e+05 0 -2.5000e+05 0 -1.6667e+05 0 -2.5000e+05
-8.3333e+05 0 1.6667e+06 0 -5.5511e-17 0 -8.3333e+05 0
0 -2.5000e+05 0 6.6667e+05 0 2.5000e+05 0 -1.6667e+05
-8.3333e+05 0 -5.5511e-17 0 1.6667e+06 0 -8.3333e+05 0
0 -1.6667e+05 0 2.5000e+05 0 6.6667e+05 0 -2.5000e+05
-5.5511e-17 0 -8.3333e+05 0 -8.3333e+05 0 1.6667e+06 0
0 -2.5000e+05 0 -1.6667e+05 0 -2.5000e+05 0 6.6667e+05

可以发现，该单元刚度矩阵是一个对称阵，其中所有非零元素均为实数。