一元三次方程所有求根公式
时间: 2023-07-06 12:25:13 浏览: 53
一元三次方程的求根公式较为复杂,可以使用公式或者其他方法求解。其中一种公式为:
设一元三次方程为ax^3+bx^2+cx+d=0,令y=x+(b/3a),则方程化为y^3+py+q=0,其中p=(3ac-b^2)/3a^2,q=(2b^3-9abc+27a^2d)/27a^3。
若Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0,则方程有三个实根,分别为:
x1=y1-(b/3a),x2=y2-(b/3a),x3=y3-(b/3a),其中y1=(-q/2+(Δ)^(1/2))^(1/3),y2=(-q/2-(Δ)^(1/2))^(1/3),y3为y1和y2的共轭复数。
若Δ=0,则方程有一个实根和两个共轭复根,分别为:
x1=y1-(b/3a),x2=x3=y2-(b/3a),其中y1=-2(q/2)^(1/3),y2=y3=(q/2)^(1/3)。
若Δ<0,则方程有三个实根,但存在一个实根和两个共轭复根,分别为:
x1=2(Δ)^(1/2)cosθ-(b/3a),x2=2(Δ)^(1/2)cos(θ+2π/3)-(b/3a),x3=2(Δ)^(1/2)cos(θ-2π/3)-(b/3a),其中Δ<0,θ=arccos(-q/2(Δ)^(3/2))。
相关问题
所有的一元三次方程求根公式
一元三次方程的求根公式比较复杂,一般使用维达定理(Cardano's formula)进行求解。不过,为了完整回答问题,以下是所有的一元三次方程求根公式。
设一元三次方程为ax^3+bx^2+cx+d=0,其中a≠0,该方程的三个实根为:
x₁ = -b/3a + (Q + R)^(1/3) + (Q - R)^(1/3)
x₂ = -b/3a - (1/2)(Q + R)^(1/3) - (1/2)(Q - R)^(1/3) + i(3)^(1/2)/2(Q + R)^(1/3) - i(3)^(1/2)/2(Q - R)^(1/3)
x₃ = -b/3a - (1/2)(Q + R)^(1/3) - (1/2)(Q - R)^(1/3) - i(3)^(1/2)/2(Q + R)^(1/3) + i(3)^(1/2)/2(Q - R)^(1/3)
其中,Q和R为:
Q = (3ac - b^2)/9a^2
R = (9abc - 27a^2d - 2b^3)/54a^3
需要注意的是,当Q^3+R^2<0时,方程的三个实根中存在复数根。
此外,还有一种求解一元三次方程的方法,称为卡尔达诺方法(Cardano's method)。它的基本思想是将原方程转化为一个形如y^3+py+q=0的方程,然后通过一些代数变换得到y的解,再通过逆变换得到x的解。这种方法比较繁琐,不太常用。
一元三次方程求根公式韦达定理
一元三次方程的求根公式较为复杂,这里简要介绍一下:
设一元三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$,则它们的求根公式如下:
$$
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-3ac}}{3a},\quad
x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-3ac}}{3a},\quad
x_3=\frac{2b+\sqrt{b^2-3ac}}{3a}-\frac{p}{3},
$$
其中 $p=\frac{b^2}{3a^2}-\frac{c}{a}$。
另外,我们可以利用韦达定理来简化一元三次方程的求解过程,如下所示:
设一元三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$,则有:
$$
\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3&=-\frac{b}{a},\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3&=\frac{c}{a},\\
x_1x_2x_3&=-\frac{d}{a}.
\end{aligned}
$$
因此,如果我们已知了 $a,b,c,d$ 的值,可以通过韦达定理求得三个根的和、积和乘积,然后代入求解方程。这种方法比直接使用求根公式更简单一些。
相关推荐
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)