Matlab计算线性时不变系统的传递函数

计算线性时不变系统的传递函数需要先确定系统的输入输出关系，即系统的微分方程或差分方程。以连续时间系统为例，设系统的输入为 $u(t)$，输出为 $y(t)$，则系统微分方程可以表示为：

$$
\frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1\frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_m\frac{d^m u(t)}{dt^m} + \cdots + b_1\frac{du(t)}{dt} + b_0 u(t)
$$

其中 $n$ 和 $m$ 分别为系统的阶数和输入项的最高阶数，$a_i$ 和 $b_i$ 为系统的系数。

利用拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为传递函数的形式：

$$
H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_ms^m + \cdots + b_1s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1s + a_0}
$$

其中 $Y(s)$ 和 $U(s)$ 分别为输出信号和输入信号的拉普拉斯变换，$s$ 为复频域变量。

在 Matlab 中，可以使用 `tf` 函数或 `zpk` 函数来计算传递函数。例如，假设系统的系数已知为：

$$
a = [1, -0.8, 0.64], \quad b = [0.2, 0.4, 0.2]
$$

则可以使用以下代码计算传递函数：

num = [0.2, 0.4, 0.2];
den = [1, -0.8, 0.64];
H = tf(num, den);

其中 `num` 和 `den` 分别为传递函数的分子和分母多项式系数，`tf` 函数将其组合成传递函数对象 `H`。可以使用 `pzmap` 函数绘制传递函数的零极点图：

pzmap(H);

这将绘制出传递函数的零极点分布图，可以从图中读取系统的稳定性和频率响应特性。