积分二次代价函数是凸函数吗
时间: 2024-01-26 14:23:38 浏览: 31
假设函数 $f(x)$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的二次可积函数,即 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且存在有限的二阶导数。其积分二次代价函数为 $J(f) = \int_{a}^{b} [f''(x)]^2 dx$。
我们可以证明,积分二次代价函数 $J(f)$ 是凸函数。
证明如下:
对于任意 $t \in [0,1]$,以及 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 是 $[a,b]$ 上的二次可积函数,则有:
$$
\begin{aligned}
J(tf_1 + (1-t)f_2) &= \int_{a}^{b} [(tf_1 + (1-t)f_2)''(x)]^2 dx \\
&= \int_{a}^{b} [t f_1''(x) + (1-t) f_2''(x)]^2 dx \\
&= \int_{a}^{b} [t^2 (f_1''(x))^2 + 2t(1-t)f_1''(x)f_2''(x) + (1-t)^2(f_2''(x))^2] dx \\
&\geq t\int_{a}^{b} (f_1''(x))^2 dx + (1-t)\int_{a}^{b} (f_2''(x))^2 dx \\
&= tJ(f_1) + (1-t)J(f_2)
\end{aligned}
$$
其中,不等式使用了二次型的非负性质。
因此,对于任意的 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$,以及 $t \in [0,1]$,都有:
$$
J(tf_1 + (1-t)f_2) \geq tJ(f_1) + (1-t)J(f_2)
$$
这满足凸函数的定义,因此积分二次代价函数 $J(f)$ 是凸函数。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)