判断该函数是否可以作为 距离度量

给定 $n$ 维欧几里得空间中的任意两个点 $x=(x_1, x_2, ..., x_n)$ 和 $y=(y_1, y_2, ..., y_n)$，定义函数 $d(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$。

这个函数可以作为距离度量。

证明：

要证明 $d(x,y)$ 满足距离度量的三个条件：

1. 非负性：对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$，$d(x,y)\geq 0$。

成立，因为 $d(x,y)$ 是欧几里得距离，即两点之间的直线距离，显然非负。

2. 同一性：对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$，$d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$。

成立，因为两点之间的直线距离为 $0$ 当且仅当两点重合。

3. 对称性：对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$，$d(x,y)=d(y,x)$。

成立，因为欧几里得距离是对称的，即 $d(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-x_i)^2}=d(y,x)$。

4. 三角不等式：对于任意 $x,y,z\in\mathbb{R}^n$，有 $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$。

成立，因为欧几里得距离满足三角不等式，即

$$
d(x,z)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2}\leq \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2}=d(x,y)+d(y,z)
$$

因此，$d(x,y)$ 满足距离度量的所有条件，可以作为距离度量。