n个人排成一圈,按顺时针方向依次编号1,2,3…n。从编号为1的人开始顺时针"一二三...."报数,报到m的人退出圈子。这样不断循环下去,圈子里的人将不断减少。最终一定会剩下一个人。试问最后剩下的人的编号。 本题的数据规模更具有挑战性,尝试更通用且高效的算法。
时间: 2024-03-04 09:03:08 浏览: 14
这个问题也是 Josephus 问题的一种变形,可以使用递推的方式来求解。设 f(n, m) 表示 n 个人数中,每次报数 m,最后剩下的人的编号。当只有一个人时,这个人的编号为1,即 f(1,m) = 1。当有 n 个人时,第一轮淘汰的人的编号为 (m-1)%n,剩下的人组成一个新的数列,编号从 (m-1)%n+1 开始,共有 n-1 个人。因此,可以得到递推公式:
f(n, m) = (f(n-1, m) + m - 1) % n + 1
根据这个递推公式,可以使用递归或动态规划的方式来求解 Josephus 问题。以下是一个使用动态规划的求解方法:
```python
def josephus(n, m):
# 初始化最后剩下的人的编号为1
f = 1
# 使用动态规划求解
for i in range(2, n+1):
# 每次计算n个人数中,每次报数m,最后剩下的人的编号
f = (f + m - 1) % i + 1
# 返回最后剩下的人的编号
return f
```
这个方法的时间复杂度为 O(n),空间复杂度为 O(1),可以在较短的时间内求解大规模的 Josephus 问题。
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n个人排成一圈,按顺时针方向依次编号1,2,3…n。从编号为1的人开始顺时针"一二三...."报数,报到m的人退出圈子。这样不断循环下去,圈子里的人将不断减少。最终一定会剩下一个人。试问最后剩下的人的编号解决此题的基本原理与设计步骤
解决这个问题的基本原理是使用递推或递归的方法来求解,在每一轮游戏中,需要确定被淘汰的人的编号,然后将剩余的人重新排成一圈,继续进行游戏,直到只剩下一个人为止。
具体的设计步骤如下:
1. 定义函数 josephus(n, m),其中 n 表示人数,m 表示报数到 m 的人出圈。
2. 在函数中,初始化一个列表 people,用来表示所有人的编号,将人按顺时针方向依次编号为 1~n。
3. 初始化一个变量 index,表示当前游戏中第一个报数的人的下标,即 index = 0。
4. 进入循环,循环条件为列表 people 中还剩下多于一个人,即 while len(people) > 1。
5. 在循环中,计算出被淘汰的人的下标,即 (index + m - 1) % len(people),将该人从列表 people 中删除。
6. 更新 index 的值,使其指向下一个报数的人,即 index = (index + m - 1) % len(people)。
7. 如果列表 people 中只剩下一个人,跳出循环。
8. 返回剩下的人的编号,即 people[0]。
总体来说,这个算法的设计思路是先将所有人的编号存储在一个列表中,然后在每一轮游戏中,计算出被淘汰的人的编号,将其从列表中删除,直到只剩下一个人为止。这个算法的时间复杂度为 O(nm),空间复杂度为 O(n),其中 n 表示人数,m 表示报数到 m 的人出圈。
n个人排成一圈,按顺时针方向依次编号1.2.3…n。从编号为1的人开始顺时针一二报数,报到2的人退出圈子。这样不断循环下去,圈子里的人不断减少,最终一定会剩下一个人。试问最后剩下的人的编号
根据约瑟夫环问题的解法,可以用数组模拟这个过程。我们可以定义一个长度为n的数组,每个元素表示对应编号的人是否在圈子里,初始化为1表示都在圈子里。然后用一个循环模拟每次报数和出圈的过程,直到只剩下一个人。最后输出剩下的人的编号即可。
以下是C语言的代码实现:
```
#include <stdio.h>
int main() {
int n, count = 0, i = 0, j, num = 1;
printf("请输入人数n:");
scanf("%d", &n);
int arr[n];
for (j = 0; j < n; j++) { // 初始化数组
arr[j] = 1;
}
while (count < n - 1) { // 只剩一人时结束循环
if (arr[i] == 1) { // 如果这个人还在圈里
if (num == 2) { // 报数到2时出圈
arr[i] = 0; // 标记为离开圈子
count++; // 离开圈子的人数增加
num = 1; // 报数从1开始
} else {
num++; // 报数加1
}
}
i++; // 下一个人
if (i == n) { // 如果到了最后一个人,回到第一个人
i = 0;
}
}
for (i = 0; i < n; i++) { // 输出剩下的人
if (arr[i] == 1) {
printf("剩下的人的编号是%d\n", i + 1);
break;
}
}
return 0;
}
```
这段代码实现了约瑟夫环问题的解法,根据输入的人数n,按照报数规则,每次淘汰报数为2的人,直到只剩下一人。最后输出剩下的人的编号。