当图中所有边的权都 时,最短路径上的子路径也是最短路径。
时间: 2024-05-20 19:15:31 浏览: 28
当图中所有边的权都相同时,最短路径可以通过贪心算法得到,即每次选择距离起点距离最短的邻居节点作为下一个节点。这样得到的最短路径上的子路径也是最短路径。因为如果存在比选出来的子路径更短的子路径,那么这个更短的子路径上必然存在一个节点,它的邻居节点到起点的距离比选出来的子路径的下一个节点到起点的距离更短,这与贪心算法的选择矛盾。所以最短路径上的子路径也是最短路径。
相关问题
负权有向图的最短路径计算,依据最短路径进行边介数的计算
负权有向图的最短路径计算可以使用Bellman-Ford算法或Dijkstra算法,但需要特别注意负权环的情况,因为负权环会导致最短路径不存在。
边介数的计算可以使用Brandes算法,其基本思想是对每个节点进行遍历,计算每个节点到其他节点的最短路径数量,然后根据这些数量计算出每条边的边介数。具体步骤如下:
1. 对每个节点进行遍历,计算每个节点到其他节点的最短路径数量,使用Bellman-Ford或Dijkstra算法均可。
2. 对每个节点,计算其作为中间节点时,其他节点之间最短路径数量的贡献。具体地,对于节点v,以v为中间节点的最短路径数量可以通过以下公式计算:
$\sigma_{s,t}^v = \sum_{(s,u)\in P_{s,t}} \frac{\sigma_{s,u}\cdot \sigma_{u,t}}{\sigma_{s,t}}$
其中,$P_{s,t}$表示s到t的所有最短路径,$\sigma_{s,u}$表示s到u的最短路径数量,$\sigma_{u,t}$表示u到t的最短路径数量,$\sigma_{s,t}$表示s到t的最短路径数量。
3. 对于每条边$(u,v)$,计算其边介数$C_{u,v}$,具体地,可以使用以下公式:
$C_{u,v} = \sum_{s\neq u,v} \frac{\sigma_{s,u}\cdot \sigma_{v,s}}{\sigma_{s,v}}$
其中,$\sigma_{s,u}$表示s到u的最短路径数量,$\sigma_{v,s}$表示v到s的最短路径数量,$\sigma_{s,v}$表示s到v的最短路径数量。
需要注意的是,Brandes算法的时间复杂度为$O(nm)$,其中n为节点数,m为边数,因此对于大规模图的计算可能会比较耗时。
C++图上最短路径中最大边和最小边
在 C 语言中,图上最短路径的最大边和最小边可以使用图论算法来求解。最常用的算法有最短路径算法和最小生成树算法。
最短路径算法包括 Dijkstra 算法和 Floyd 算法。Dijkstra 算法用于求有向图或者边权非负的无向图的最短路径,而 Floyd 算法用于求任意两点间的最短路径。这两种算法都可以用来求最短路径中的最大边和最小边。
最小生成树算法包括 Kruskal 算法和 Prim 算法。这两种算法用于求无向图的最小生成树。最小生成树是由图中的 n-1 条边构成的无环连通图,它包含所有的顶点,且边权之和最小。因此,最小生成树中的最大边和最小边也可以用这两种算法来求解。