六点法实现一维抛物方程的差分

以下是使用六点法实现一维抛物方程的差分的 MATLAB 代码：

% 定义参数
L = 1; % 区间长度
T = 0.1; % 时间长度
n = 100; % 空间步数
m = 100; % 时间步数
dx = L/n; % 空间步长
dt = T/m; % 时间步长
r = dt/(dx^2); % 参数r

% 初始化矩阵
u = zeros(n+1,m+1);
u(:,1) = sin(pi*(0:n)/n); % 初始条件
u(1,:) = 0; % 边界条件
u(n+1,:) = 0; % 边界条件

% 循环求解
for j=1:m
    for i=4:n-3
        u(i,j+1) = u(i,j) + r*(-2*u(i,j) + u(i-3,j) + 27*u(i-2,j) - 270*u(i-1,j) + 27*u(i+1,j) + u(i+2,j));
    end
end

% 画图
x = 0:dx:L;
t = 0:dt:T;
[X,T] = meshgrid(x,t);
surf(X,T,u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u')

这个代码将求解一维抛物线方程 $u_t = u_{xx}$，其中 $u(x,0)=\sin(\pi x/L)$，$u(0,t)=u(L,t)=0$。它使用了六点法来求解，其中使用了 $u_{i-3}$、$u_{i-2}$、$u_{i-1}$、$u_i$、$u_{i+1}$、$u_{i+2}$ 共六个点。需要注意的是，六点法的稳定性要求 $r \leq 1/10$，因此这个代码在选择时间步长和空间步长时需要满足这个条件。