向前差分法求解一维抛物方程

以下是使用向前差分法求解一维抛物方程的 MATLAB 代码：

% 定义参数
L = 1; % 区间长度
T = 0.1; % 时间长度
n = 100; % 空间步数
m = 100; % 时间步数
dx = L/n; % 空间步长
dt = T/m; % 时间步长
r = dt/(dx^2); % 参数r

% 初始化矩阵
u = zeros(n+1,m+1);
u(:,1) = sin(pi*(0:n)/n); % 初始条件
u(1,:) = 0; % 边界条件
u(n+1,:) = 0; % 边界条件

% 循环求解
for j=1:m
    for i=2:n
        u(i,j+1) = u(i,j) + r*(u(i+1,j)-2*u(i,j)+u(i-1,j));
    end
end

% 画图
x = 0:dx:L;
t = 0:dt:T;
[X,T] = meshgrid(x,t);
surf(X,T,u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u')

这个代码将求解一维抛物线方程 $u_t = u_{xx}$，其中 $u(x,0)=\sin(\pi x/L)$，$u(0,t)=u(L,t)=0$。它使用了简单的向前差分法来求解。需要注意的是，向前差分法的稳定性要求 $r \leq 1/2$，因此这个代码在选择时间步长和空间步长时需要满足这个条件。

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向后差分法求解一维抛物方程

以下是使用向后差分法求解一维抛物方程的 MATLAB 代码：

% 定义参数
L = 1; % 区间长度
T = 0.1; % 时间长度
n = 100; % 空间步数
m = 100; % 时间步数
dx = L/n; % 空间步长
dt = T/m; % 时间步长
r = dt/(dx^2); % 参数r

% 初始化矩阵
u = zeros(n+1,m+1);
u(:,1) = sin(pi*(0:n)/n); % 初始条件
u(1,:) = 0; % 边界条件
u(n+1,:) = 0; % 边界条件

% 循环求解
A = diag(1+2*r*ones(n-1,1)) + diag(-r*ones(n-2,1),1) + diag(-r*ones(n-2,1),-1); % 系数矩阵
for j=1:m
    u(2:n,j+1) = A \ u(2:n,j); % 求解线性方程组
end

% 画图
x = 0:dx:L;
t = 0:dt:T;
[X,T] = meshgrid(x,t);
surf(X,T,u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u')

这个代码将求解一维抛物线方程 $u_t = u_{xx}$，其中 $u(x,0)=\sin(\pi x/L)$，$u(0,t)=u(L,t)=0$。它使用了向后差分法来求解，其中线性方程组的求解使用了 MATLAB 自带的反斜杠运算符。需要注意的是，向后差分法的稳定性要求 $r \leq 1/2$，因此这个代码在选择时间步长和空间步长时需要满足这个条件。

adi法求解二维抛物方程

ADI法（Alternating Direction Implicit method）是一种用于求解二维抛物方程的数值方法。该方法的核心思想是将二维方程拆解为一维方程，并对每个方向上的一维方程进行交替求解。

对于一个二维抛物方程，可以写作如下形式：

∂U/∂t = a(∂²U/∂x² + ∂²U/∂y²) + b(∂U/∂x + ∂U/∂y) + cU + f(x, y, t)

其中，U是待求解的函数，t是时间变量，a、b和c是常数，f(x, y, t)是已知的函数。

为了使用ADI法求解该方程，我们首先将时间变量t离散化，选择合适的时间步长Δt，然后将空间变量x和y离散化，得到网格点。

接下来，我们将二维方程在时间方向上进行分离，采用交替更新的方式对x和y方向上的一维方程进行求解。

首先，我们固定y方向，将每个网格点处的x方向上的一维方程写为：

∂U/∂t = a(∂²U/∂x²) + b(∂U/∂x) + cU + f(x, y, t)

使用合适的差分格式，对上述一维方程进行离散化，可以得到一个关于x方向上各个网格点处函数U的线性方程组。利用迭代法（如Jacobi法或Gauss-Seidel法），可以求解这个线性方程组得到新的U值。

然后，我们固定x方向，将每个网格点处的y方向上的一维方程写为：

∂U/∂t = a(∂²U/∂y²) + b(∂U/∂y) + cU + f(x, y, t)

同样地，对这个一维方程进行离散化，并使用迭代法，可以求解得到y方向上的新的U值。

通过交替地进行x和y方向上的求解，反复迭代多次，即可得到整个网格上函数U在下一个时间步长的近似解。不断重复这一过程，就可以逐渐逼近方程的解。

ADI法的特点是具有良好的数值稳定性和精度，并且可以高效地并行计算，适用于求解二维抛物方程等一类偏微分方程。但需要注意的是，ADI法的计算复杂度较高，且对网格的选择有一定的限制，需要根据具体问题进行参数调整和网格优化。