向后差分法求解一维抛物方程

以下是使用向后差分法求解一维抛物方程的 MATLAB 代码：

% 定义参数
L = 1; % 区间长度
T = 0.1; % 时间长度
n = 100; % 空间步数
m = 100; % 时间步数
dx = L/n; % 空间步长
dt = T/m; % 时间步长
r = dt/(dx^2); % 参数r

% 初始化矩阵
u = zeros(n+1,m+1);
u(:,1) = sin(pi*(0:n)/n); % 初始条件
u(1,:) = 0; % 边界条件
u(n+1,:) = 0; % 边界条件

% 循环求解
A = diag(1+2*r*ones(n-1,1)) + diag(-r*ones(n-2,1),1) + diag(-r*ones(n-2,1),-1); % 系数矩阵
for j=1:m
    u(2:n,j+1) = A \ u(2:n,j); % 求解线性方程组
end

% 画图
x = 0:dx:L;
t = 0:dt:T;
[X,T] = meshgrid(x,t);
surf(X,T,u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u')

这个代码将求解一维抛物线方程 $u_t = u_{xx}$，其中 $u(x,0)=\sin(\pi x/L)$，$u(0,t)=u(L,t)=0$。它使用了向后差分法来求解，其中线性方程组的求解使用了 MATLAB 自带的反斜杠运算符。需要注意的是，向后差分法的稳定性要求 $r \leq 1/2$，因此这个代码在选择时间步长和空间步长时需要满足这个条件。