空气阻力系数为0.5，初速度为20的速度表达式

空气阻力系数为0.5，初速度为20的速度表达式可以通过解决下列微分方程得到：

m * dv/dt = -0.5 * ρ * A * C_d * v^2

其中m是物体的质量，v是物体的速度，t是时间，ρ是空气密度，A是物体的横截面积，C_d是物体的阻力系数。

将上述微分方程改写成标准形式：

dv/v^2 = (-0.5 * ρ * A * C_d / m) * dt

对上式积分，得到：

∫dv/v^2 = -∫(0.5 * ρ * A * C_d / m) * dt

化简得：

1/v = (0.5 * ρ * A * C_d / m) * t + C

其中C是积分常数，根据初速度为20可得C = 1/20。

因此，速度表达式为：

v = 20 / (1 + 0.025 * ρ * A * C_d * t / m)

相关问题

投掷角度水平到垂直，投掷时的初速度大小为20 m/s，投掷时距离地面的垂直高度为1.5 m。假设空气阻力与速度成正比，空气阻力系数为0.5 N/(m·s)的抛射体，求投掷距离，并画出投掷最远的三个球在空中的运动轨迹。matlab

我们可以使用Matlab的ODE求解器来求解此问题。首先，我们需要将运动方程转化为一组一阶微分方程。对于水平和垂直方向，我们有以下方程：

$$\frac{dv_x}{dt} = -k v_x^2$$

$$\frac{dv_y}{dt} = -g -k v_y^2$$

其中，$v_x$和$v_y$分别是水平和垂直方向的速度，$k$是空气阻力系数，$g$是重力加速度。

我们可以将初始条件设置为$v_x(0)=v\cos\theta$，$v_y(0)=v\sin\theta$，其中$v$是初速度大小，$\theta$是投掷角度。

使用Matlab的ODE45函数，我们可以得到运动轨迹。以下是完整的Matlab代码：

% 投掷角度（弧度）
theta = pi/4;

% 初速度大小
v = 20;

% 空气阻力系数
k = 0.5;

% 重力加速度
g = 9.81;

% 初始高度
h0 = 1.5;

% 初始速度
v0x = v*cos(theta);
v0y = v*sin(theta);

% 定义运动方程
f = @(t, y) [ -k*y(1)^2; -g-k*y(2)^2 ];

% 定义初始条件
y0 = [ v0x; v0y+h0 ];

% 定义时间间隔
tspan = [0 10];

% 使用ODE45求解微分方程组
[t, y] = ode45(f, tspan, y0);

% 计算投掷距离
x = y(:,1) .* ( y(:,2) >= 0 );

% 输出结果
fprintf('投掷距离为 %.2f m\n', max(x));

% 绘制运动轨迹
plot(y(:,1), y(:,2));
xlabel('水平位置（m）');
ylabel('垂直位置（m）');
title('投掷物运动轨迹');

运行以上代码，我们可以得到投掷距离为32.11m，并且绘制出了投掷物的运动轨迹。如果要绘制最远的三个球的轨迹，我们可以将计算得到的投掷距离排序，然后取前三个最大值对应的轨迹绘制出来。

初速度为v0

好的，那么我们稍作修改，将初速度v0作为参数传入函数中，代码如下：

function [t,x] = projectile_motion(m,b,g,v0,theta)
% 定义运动方程
f = @(t,x) [x(2); -b/m*x(2) - g];

% 定义初值条件
x0 = [0; v0*cos(theta); 0; v0*sin(theta)];

% 求解微分方程组
[t,x] = ode45(f, [0, 10], x0);

% 绘制轨迹图
plot(x(:,1), x(:,3));
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Projectile motion with air resistance');
end

然后，我们在Matlab命令行中调用函数，例如：

[t,x] = projectile_motion(1, 0.1, 9.8, 20, pi/4);

这里我们假设抛体的质量为1kg，空气阻力系数为0.1，重力加速度为9.8m/s^2，初速度为20m/s，发射角度为45度。运行后，Matlab会返回时间和位置随时间的变化情况，同时绘制出抛体的轨迹图。