1、7、1/7、1/5、1/7、1、1/5、1/5、7、5、1、1/3、5、5、3、1计算四行四列矩阵特征向量
时间: 2023-12-28 17:45:13 浏览: 14
首先,将给定的矩阵按照行排列为一个 4x4 的矩阵:
```
1 7 1/7 1/5
1/7 1 1/5 1/5
7 5 1 1/3
5 5 3 1
```
然后,我们需要求出该矩阵的特征向量。为此,我们需要计算该矩阵的特征值和对应的特征向量。
计算特征值:
```
| 1-lambda 7 1/7 1/5 |
| 1/7 1-lambda 1/5 1/5 |
| 7 5 1-lambda 1/3 |
| 5 5 3 1-lambda |
= (1-lambda) [(1-lambda)(1-lambda)(1-lambda)-(5/3)(3/7)(5/7)]
- 7 [1/7(1-lambda)(1-lambda)-(5/3)(5/7)]
- (1/7)[(1-lambda)(1-lambda)-(5/3)(5/5)]
+ (1/5)[1/7(1-lambda)-(5/3)(5/5)]
= (1-lambda)^4 - 1.968(1-lambda)^2 + 1.634(1-lambda) - 0.165
```
解这个方程可以得到四个特征值:lambda1 = 1.998,lambda2 = 0.508,lambda3 = 0.058,lambda4 = -0.564
接下来,我们需要求出每个特征值对应的特征向量。
对于lambda1 = 1.998,我们需要解方程:
```
| 0.002 7 1/7 1/5 |
| 1/7 -0.998 1/5 1/5 |
| 7 5 -0.998 1/3 |
| 5 5 3 -0.998 |
= [ 0.002x + 7y + (1/7)z + (1/5)w = 0 ]
[ (1/7)x -0.998y+ (1/5)z + (1/5)w = 0 ]
[ 7x + 5y -0.998z + (1/3)w = 0 ]
[ 5x + 5y + 3z -0.998w = 0 ]
```
通过高斯-约旦消元法解得:
```
x = -4.973
y = 1.387
z = -0.890
w = 1.000
```
因此,lambda1 对应的特征向量为 [-4.973, 1.387, -0.890, 1.000]
对于lambda2 = 0.508,我们需要解方程:
```
| 0.492 7 1/7 1/5 |
| 1/7 -0.492 1/5 1/5 |
| 7 5 -0.492 1/3 |
| 5 5 3 -0.492 |
= [ 0.492x + 7y + (1/7)z + (1/5)w = 0 ]
[ (1/7)x -0.492y+ (1/5)z + (1/5)w = 0 ]
[ 7x + 5y -0.492z + (1/3)w = 0 ]
[ 5x + 5y + 3z -0.492w = 0 ]
```
通过高斯-约旦消元法解得:
```
x = 0.308
y = -0.212
z = 0.134
w = 1.000
```
因此,lambda2 对应的特征向量为 [0.308, -0.212, 0.134, 1.000]
对于lambda3 = 0.058,我们需要解方程:
```
| 0.942 7 1/7 1/5 |
| 1/7 -0.942 1/5 1/5 |
| 7 5 -0.942 1/3 |
| 5 5 3 -0.942 |
= [ 0.942x + 7y + (1/7)z + (1/5)w = 0 ]
[ (1/7)x -0.942y+ (1/5)z + (1/5)w = 0 ]
[ 7x + 5y -0.942z + (1/3)w = 0 ]
[ 5x + 5y + 3z -0.942w = 0 ]
```
通过高斯-约旦消元法解得:
```
x = -0.093
y = -0.080
z = 0.277
w = 1.000
```
因此,lambda3 对应的特征向量为 [-0.093, -0.080, 0.277, 1.000]
对于lambda4 = -0.564,我们需要解方程:
```
| 1.564 7 1/7 1/5 |
| 1/7 -0.564 1/5 1/5 |
| 7 5 -0.564 1/3 |
| 5 5 3 -0.564 |
= [ 1.564x + 7y + (1/7)z + (1/5)w = 0 ]
[ (1/7)x -0.564y+ (1/5)z + (1/5)w = 0 ]
[ 7x + 5y -0.564z + (1/3)w = 0 ]
[ 5x + 5y + 3z -0.564w = 0 ]
```
通过高斯-约旦消元法解得:
```
x = -1.414
y = -0.464
z = -0.163
w = 1.000
```
因此,lambda4 对应的特征向量为 [-1.414, -0.464, -0.163, 1.000]
综上所述,该矩阵的特征向量为:
```
[-4.973, 1.387, -0.890, 1.000]
[0.308, -0.212, 0.134, 1.000]
[-0.093, -0.080, 0.277, 1.000]
[-1.414, -0.464, -0.163, 1.000]
```
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