hilbert矩阵正定吗

不是所有的Hilbert矩阵都是正定的，但是对于任意正整数n，Hilbert矩阵Hn是正定的。这是由于Hn的所有主子矩阵都是正定的。但是，当n趋近于无穷大时，Hilbert矩阵变得越来越病态，导致其行列式趋近于零，从而不能保证其正定性。

相关问题

hilbert矩阵计算cond

Hilbert矩阵是一个非常特殊的矩阵，它的元素值为 $H_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}$。由于其元素值的特殊性，Hilbert矩阵的条件数非常高，因此在计算过程中容易出现数值不稳定的情况。

计算Hilbert矩阵的条件数，可以利用矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）来实现。具体地，设 $H$ 为Hilbert矩阵，$H=U\Sigma V^T$ 是 $H$ 的奇异值分解，其中 $U$ 和 $V$ 是酉矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵，对角线上的元素即为 $H$ 的奇异值。则 $H$ 的条件数 $\mathrm{cond}(H)=\sigma_{\max}(H)/\sigma_{\min}(H)$，其中 $\sigma_{\max}(H)$ 和 $\sigma_{\min}(H)$ 分别为 $H$ 的最大奇异值和最小奇异值。

在实际计算中，可以利用数值线性代数中的工具库（如MATLAB中的svd函数）来计算Hilbert矩阵的奇异值分解，从而得到其条件数。需要注意的是，由于Hilbert矩阵的条件数非常高，其奇异值分解的计算复杂度也非常高，因此在计算过程中需要注意数值稳定性和计算效率的平衡。

hilbert矩阵求解matlab

好的，我可以回答关于 Hilbert 矩阵求解的问题。

在 Matlab 中，可以使用 "hilb" 函数来生成 Hilbert 矩阵。然后，可以使用标准的线性代数库中的函数，如 "\" 来求解该矩阵的方程组。例如：

>> A = hilb(4)

A =

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429

>> b = [1;2;3;4]

b =

1
2
3
4

>> x = A\b

x =

24.0000
-180.0000
480.0000
-360.0000

这个示例演示了如何使用 MatLab 求解 4x4 Hilbert 矩阵的线性方程组。