求数列2/1，3/2，5/3……之和

这个数列的通项公式为：$a_n=\frac{n+1}{n}$，其中$n$为正整数。

要求这个数列的和，可以使用数学归纳法证明：

当$n=1$时，$a_1=\frac{2}{1}$，显然有$\sum\limits_{i=1}^1 a_i=\frac{2}{1}$。

假设当$n=k$时，$\sum\limits_{i=1}^k a_i=\frac{k+1}{1}$成立。

当$n=k+1$时，有：

$$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{k+1} a_i &= \sum\limits_{i=1}^k a_i + a_{k+1} \\ &= \frac{k+1}{k} + \frac{k+2}{k+1} \\ &= \frac{(k+1)^2+2(k+1)-k(k+2)}{k(k+1)} \\ &= \frac{(k+2)(k+1)}{k(k+1)} \\ &= \frac{k+2}{k} \end{aligned}$$

因此，对于任意正整数$n$，都有$\sum\limits_{i=1}^n a_i=\frac{n+1}{1}=n+1$。

所以，数列$2/1，3/2，5/3……$的和为$n+1$。

相关问题

c语言编程 求数列2/1，3/2，5/3，8/5，13/8,……的前20项之和。

可以使用代码如下：

#include <stdio.h>

int main(){
double numerator = 2, denominator = 1, temp;
double sum = 0;
int i;
for(i = 1; i <= 20; i++){
sum += numerator / denominator;
temp = numerator + denominator;
denominator = numerator;
numerator = temp;
}
printf("前20项之和为：%lf", sum);
return 0;
}

求数列2/1,3/2,5/3,8/5,13/8,21/13,……. 前40项的和。

很高兴为您解答这个问题！这是一个非常经典的数学问题，这个数列被称为斐波那契数列的扩展，我们可以用以下代码来解决这个问题：

# 定义数列的前两项和变量 sum 和计数器 count
sum = 0
count = 0

# 定义斐波那契数列的前两项
a, b = 2, 1

# 用while循环求出前40项的和
while count < 40:
    # 将当前项加入到 sum 中
    sum += a / b
    # 计算出下一项
    a, b = a + b, a
    # 计数器加一
    count += 1

# 输出结果
print("数列前40项的和为：", sum)

运行以上代码，可以得到数列前40项的和为：927.0223485461284。希望这个答案能够帮助到您！