使用octave利用连分数展开方法求出pi 的分母在小于等于1000以内的所有既约分数近似值，并给出这些近似值中的最佳近似值。

抱歉，我刚才的回答中有些地方出现了问题。以下是更正后的回答：

首先，使用连分数展开方法可以得到以下式子：

$\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}}}}$

接着，我们可以使用以下代码在 Octave 中计算分母小于等于1000的所有既约分数近似值：

n = 1000;
a = zeros(n,1);
for k = 1:n
  a(k) = floor(pi);
  pi = 1/(pi - a(k));
end

frac = zeros(n,2);
frac(1,:) = [1 a(1)];
for k = 2:n
  frac(k,1) = a(k)*frac(k-1,1) + frac(k-2,1);
  frac(k,2) = a(k)*frac(k-1,2) + frac(k-2,2);
  if gcd(frac(k,1),frac(k,2)) > 1   # 确定是否为既约分数
    frac(k,:) = [0 0];
  end
end

frac = frac(any(frac,2),:);  # 去除值为零的行

最后，我们可以找到最佳近似值，即分母为1000以内的最接近$\pi$的既约分数，可以使用以下代码实现：

diff = abs(frac(:,2)./frac(:,1) - pi);
[min_diff, idx] = min(diff);
best_frac = frac(idx,:);

这样，最佳近似值即为best_frac(2)/best_frac(1)，近似值列表则为frac(:,2)./frac(:,1)。