求解微分方程 x'''=sqrt(1+(x'')^2)

这是一个非线性微分方程，可以通过变量代换和积分求解。首先，令v=x''，则原方程可以化为v'=sqrt(1-v^2)，再令u=arcsin(v)，则有du/dx=du/dv*dv/dx=1/sqrt(1-v^2)*v'=1，即u=x+C1，其中C1为常数。再将u代回原方程，得到v=sin(x+C1)+C2，其中C2为常数。最后再次积分，得到x=-cos(x+C1)+C3x+C4，其中C3和C4为常数。因此，微分方程的通解为x=-cos(x+C1)+C3x+C4，其中C1、C3和C4为任意常数。

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求解微分方程 y'''=sqrt(1+(x'')^2)

这是一个非常有趣的微分方程问题。我们可以通过一些技巧来解决它。首先，我们可以将方程重写为 y'''=sqrt(1+(y'')^2)，然后令 v=y''，这样我们就得到了一个二阶微分方程 y''=sqrt(1+v^2)。接下来，我们可以再次令 u=y'，这样我们就得到了一个一阶微分方程 u du/dy=sqrt(1+u^2)，这个方程可以通过分离变量的方法求解。最终的解为 y(x)=C1+C2*x+C3*sinh((1/2)*ln(1+2*x+C4))，其中 C1、C2、C3、C4 都是常数。

matlab解方程y'=sqrt(1-y^2)

使用MATLAB可以通过ode45函数求解此微分方程：

首先定义函数 f，即 y'=f(y)：

function dydt = f(t,y)
dydt = sqrt(1-y^2);
end

然后定义初始条件和求解区间：

y0 = 0.5; % 初始条件
tspan = [0 5]; % 求解区间

最后使用ode45函数求解：

[t,y] = ode45(@f,tspan,y0);

结果可以用plot函数绘制：

plot(t,y)
xlabel('t')
ylabel('y')

完整代码如下：

function dydt = f(t,y)
dydt = sqrt(1-y^2);
end

y0 = 0.5; % 初始条件
tspan = [0 5]; % 求解区间
[t,y] = ode45(@f,tspan,y0);

plot(t,y)
xlabel('t')
ylabel('y')