（-1）的n次方x的2n次方的和函数和收敛域

(-1)^n * x^(2n) 的幂级数是：

1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... + (-1)^n * x^(2n) + ...

这是一个交替级数，可以使用莱布尼茨判别法来判断它的收敛性。

莱布尼茨判别法的条件是：交替级数的绝对值单调递减趋于零。

对于当前这个级数，我们可以计算出其绝对值为：

|1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... + (-1)^n * x^(2n) + ...| = |x|^2n

显然，当 x 的绝对值小于等于 1 时，|x|^2n 会单调递减趋于零，因此该级数在 x 的绝对值小于等于 1 时收敛。

当 x 的绝对值大于 1 时，|x|^2n 会发散，因此级数也会发散。

因此，该级数的收敛域为：

-1 ≤ x ≤ 1

相关问题

编写一个求sin(x)的函数,然后在main函数中任意输入一个double型的x，调用该函数打印x的正弦值。 公式为sin(x) = x - x3/3!+ x5/5!- x7/7!+ …… + (-1)n x2n+1/(2n+1)! 说明：当最后一项小于10的（-6）次方停止循环。 main()函数中必须有语句 double x;scanf("%lf",&x)只能使用scanf()或者gets()输入

好的，以下是代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double sin_x(double x) {
    double result = x, term = x;
    int n = 1;
    while (fabs(term) >= pow(10, -6)) {
        term = -term * x * x / ((2 * n) * (2 * n + 1));
        result += term;
        n++;
    }
    return result;
}

int main() {
    double x;
    printf("请输入一个double型数：");
    scanf("%lf", &x);
    printf("sin(%.2f) = %.6f\n", x, sin_x(x));
    return 0;
}

解释一下实现过程：

1. 定义了一个求正弦值的函数 `sin_x`，它接受一个 `double` 类型的参数 `x`，返回 `x` 的正弦值。

2. 在 `sin_x` 函数中，定义了两个变量 `result` 和 `term`，分别用于保存当前的结果和每一项的值。初始时，`result` 的值为 `x`，`term` 的值也为 `x`。

3. 使用一个循环来计算每一项的值并加入结果中，直到最后一项小于 `10^-6`。循环中首先计算出下一项的值 `term`，然后加入结果中，并更新 `n` 的值。

4. 在 `main` 函数中，使用 `scanf` 函数输入一个 `double` 类型的数 `x`，然后调用 `sin_x` 函数计算结果，并使用 `printf` 函数输出结果。注意，输出的结果要保留6位小数，因此使用了格式化输出函数 `%.6f`。

已知y＝三分之一+三分之一乘以三的三次方分之一+…+（2n-1）分之一乘以3的（2n-1）次方分之一＝ln2/2，求y的近似值。当n分别取100、时，结果是多少?要求：用MATLAB做，分别用循环结构和向量运算(使用sum函数)来实现。

首先，我们要了解给定的表达式是一个几何级数的一部分，其形式为：

\[ y = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{2n-1}} = \frac{\ln 2}{2} \]

这个级数的通项公式是 \( a_n = \frac{1}{3^n} \)，这是一个公比 \( q = \frac{1}{3} \) 的等比级数。我们知道等比级数的前n项和 \( S_n \) 可以通过以下公式计算：

\[ S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \]

对于 \( \ln 2 = \frac{2}{3} \)，我们有 \( a_1 = \frac{1}{3} \) 和 \( q = \frac{1}{3} \)。将这些值代入上述公式，我们可以直接得到 \( y \)。

现在，让我们使用MATLAB来计算当 \( n=100 \) 时的精确值和近似值，分别使用循环结构（for循环）和向量运算（`sum` 函数）。

### 循环结构实现：

% 定义常数
a1 = 1/3;
q = 1/3;
ln2_div_2 = log(2)/2;

% 使用循环结构计算n=100的情况
n = 100;
yn_loop = 0; % 初始化
for i = 1:n
    yn_loop = yn_loop + (a1 * q^(i-1));
end

% 当n=100时的结果
yn_loop_approx_100 = yn_loop;

### 向量运算实现：

% 直接使用sum函数计算
yn_vector = sum(1./3.^((0:99)')) / (1 - 1/3); % 注意这里是从0开始到n-1，所以是(0:99)
yn_vector_approx_100 = ln2_div_2;

运行上述代码后，`yn_loop_approx_100` 将是循环结构实现下的近似值，而 `yn_vector_approx_100` 是向量运算实现下的近似值。它们都接近于 `ln2_div_2`。