TSP问题的贪心算法还可以采用最短链接策略:每次选择最短边加入到解集合,但是要保证加入解集合的边最终形成一个哈密顿回路。请说明从剩余边集选择一条边(u, v)加入解结合S,应满足什么条件,写出伪代码并分析时间复杂度
时间: 2024-05-24 11:13:27 浏览: 22
对于TSP问题的贪心算法采用最短链接策略,每次选择最短边加入到解集合,但要保证加入解集合的边最终形成一个哈密顿回路。当从剩余边集选择一条边(u, v)加入解结合S时,应满足以下条件:
1. 边(u, v)的两个端点u和v分别在S中的不同连通分量中;
2. 选择边(u, v)加入S后,S中原先存在的连通分量将合并成一个新的连通分量;
3. 加入边(u, v)后,S中不能出现环,否则就不是哈密顿回路了。
伪代码如下:
1. 初始化解集合S为空;
2. 对于边集合E中的所有边(u, v),按照边的权重从小到大进行排序;
3. for each 边(u, v) in E do
4. if u,v 分别不在 S 同一个连通分量中 then
5. 将边(u, v)加入S
6. 合并(u, v)两个连通分量为一个新的连通分量
7. end if
8. end for
9. 返回S作为解
时间复杂度为O(ElogE),其中E为边的数量,主要是排序的时间复杂度。
相关问题
TSP问题的贪心算法还可以采用最短链接策略:每次选择最短边加入到解集合,但是要保证加入解集合的边最终形成一个哈密顿回路。请说明从剩余边集选择一条边(u, v)加入解结合S,应满足什么条件,写出伪代码
答:TSP问题的贪心算法可以采用最短链接策略,即每次选择最短边加入到解集合,但要保证最终形成一个哈密顿回路。当从剩余边集中选择一条边(u, v)加入解集合S时,应满足如下条件:
1. u和v都没有被访问过(即不在S中);
2. 加入这条边后,S中的节点仍然构成一个连通分量;
3. 加入这条边后,不会形成环。
伪代码:
1. 从起点开始,将它加入 S 中
2. 当 S 中的节点数小于总节点数时,执行以下步骤:
1. 从剩余的边集中,找到一条(u,v),使得u在S中,v不在S中,并且(u,v)是剩余边集中长度最短的边
2. 将(u,v)加入S中,将v标记为已访问的节点
3. 将最后一条边(v,起点)加入S中,得到哈密顿回路
注:该算法并不能保证得到最优解,只是一种求解TSP问题的近似算法。
TSP问题的贪心算法还可以采用最短链接策略:每次选择最短边加入到解集合,但是要保证加入解集合的边最终形成一个哈密顿回路。请说明从剩余边集选择一条边(u,v)加人解集合S,应满足什么条件,设计算法并上机实现。
从剩余边集选择一条边(u,v)加入解集合S,应满足以下条件:
1. u和v必须分别属于已经加入解集合的点集中的不同集合,即边(u,v)连接的两个点必须分别属于不同的连通块。
2. 加入边(u,v)后,不能形成环,否则会破坏哈密顿回路的性质。
因此,可以按照以下步骤设计贪心算法:
1. 随机选择一个起点,将其加入解集合S中。
2. 每次从剩余边集中选择一条边(u,v),满足u和v分别属于不同的连通块,并且加入边(u,v)后不会形成环。将边(u,v)加入解集合S中,并将u和v所属的连通块合并为一个连通块。
3. 重复步骤2,直到所有点都加入解集合S中,形成哈密顿回路。
下面是Python代码实现:
```
from queue import PriorityQueue
from collections import defaultdict
def find(x, parents):
if parents[x] != x:
parents[x] = find(parents[x], parents)
return parents[x]
def union(x, y, parents):
parents[find(x, parents)] = find(y, parents)
def kruskal(graph):
V = len(graph)
parents = list(range(V))
edges = PriorityQueue()
for u in range(V):
for v, w in graph[u]:
edges.put((w, u, v))
mst = []
while len(mst) < V - 1:
w, u, v = edges.get()
if find(u, parents) != find(v, parents):
mst.append((u, v))
union(u, v, parents)
return mst
def tsp(graph):
mst = kruskal(graph)
visited = set()
path = []
for u, v in mst:
if u not in visited:
visited.add(u)
path.append(u)
if v not in visited:
visited.add(v)
path.append(v)
path.append(path[0])
return path
if __name__ == '__main__':
# 构建示例图,共四个顶点
graph = defaultdict(list)
graph[0].append((1, 1))
graph[0].append((2, 2))
graph[0].append((3, 3))
graph[1].append((0, 1))
graph[1].append((2, 4))
graph[1].append((3, 5))
graph[2].append((0, 2))
graph[2].append((1, 4))
graph[2].append((3, 6))
graph[3].append((0, 3))
graph[3].append((1, 5))
graph[3].append((2, 6))
path = tsp(graph)
print(path)
```
输出结果为:[0, 1, 2, 3, 0],即形成了一个哈密顿回路。