分裂Bregman迭代算法步骤
时间: 2023-12-03 21:04:04 浏览: 62
分裂Bregman迭代算法是一种用于解决带约束的凸优化问题的迭代算法,其步骤如下:
1. 初始化变量:设 $x^{(0)}$ 是问题的一个可行解,$u^{(0)} = Ax^{(0)}$,其中 $A$ 是问题的约束矩阵。
2. 迭代 $k=0,1,2,...$ 直到收敛:
a. 求解 $x^{(k+1)} = \arg\min_x\left\{f(x) + \frac{\lambda}{2}\|Ax-u^{(k)}+b^{(k)}\|^2\right\}$,其中 $f(x)$ 是问题的目标函数,$\lambda$ 是一个正的参数,$b^{(k)}$ 是一个拉格朗日乘子向量,满足 $b^{(k+1)} = b^{(k)} + Ax^{(k+1)} - u^{(k)}$。
b. 更新 $u^{(k+1)} = u^{(k)} + Ax^{(k+1)} - u^{(k)} + b^{(k+1)}$,其中 $b^{(k+1)}$ 是在步骤 a 中计算得到的。
其中,步骤 a 中的子问题可以通过使用各种优化算法(如梯度下降、共轭梯度等)来求解。分裂Bregman迭代算法的主要优点是它可以有效地解决带约束的凸优化问题,并且在解决一些具有特殊结构的问题时具有特别的优势。
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基于总变分模型图像去噪分裂Bregman算法的步骤
基于总变分模型图像去噪分裂Bregman算法的步骤如下:
1. 初始化:设图像为 $u_0$,噪声为 $n$,参数 $\lambda$ 和 $\mu$,迭代次数 $N$,$u_0^0 = u_0$。
2. 对偶变量初始化:设 $\boldsymbol{p}_x = \boldsymbol{p}_y = \boldsymbol{q}_x = \boldsymbol{q}_y = 0$。
3. 迭代更新 $u$:
(a) 计算 $\boldsymbol{z}_x$ 和 $\boldsymbol{z}_y$:
$$\boldsymbol{z}_x = \frac{\partial}{\partial x}u^k + \boldsymbol{p}_x$$
$$\boldsymbol{z}_y = \frac{\partial}{\partial y}u^k + \boldsymbol{p}_y$$
(b) 计算 $\boldsymbol{u}_{x}$ 和 $\boldsymbol{u}_{y}$:
$$\boldsymbol{u}_{x} = \max\{\boldsymbol{z}_{x} - \frac{1}{\mu}, 0\} - \max\{-\boldsymbol{z}_{x} - \frac{1}{\mu}, 0\}$$
$$\boldsymbol{u}_{y} = \max\{\boldsymbol{z}_{y} - \frac{1}{\mu}, 0\} - \max\{-\boldsymbol{z}_{y} - \frac{1}{\mu}, 0\}$$
(c) 更新 $u$:
$$u^{k+1} = \frac{1}{1+\lambda}\left(u_0 + \lambda \nabla^T \cdot (\boldsymbol{u}_x + \boldsymbol{u}_y) \right)$$
4. 更新对偶变量:
(a) 计算 $\boldsymbol{r}_x$ 和 $\boldsymbol{r}_y$:
$$\boldsymbol{r}_x = \boldsymbol{u}_x - \boldsymbol{z}_x$$
$$\boldsymbol{r}_y = \boldsymbol{u}_y - \boldsymbol{z}_y$$
(b) 更新 $\boldsymbol{p}_x$ 和 $\boldsymbol{p}_y$:
$$\boldsymbol{p}_x^{k+1} = \boldsymbol{p}_x^k + \boldsymbol{r}_x$$
$$\boldsymbol{p}_y^{k+1} = \boldsymbol{p}_y^k + \boldsymbol{r}_y$$
5. 重复步骤 3 和 4 直到达到迭代次数 $N$。
最终的输出结果为 $u_N$。
Bregman迭代法的作用
Bman迭代法是一类优化算法,用于求解非光滑凸优化问题。它适用于许多机器学习领域,如推荐系统、自然语言处理、计算机视觉等。
具体来说,Bregman迭代法可以用来求解以下形式的问题:
min f(x) + g(x)
其中,f(x)是可微凸函数,g(x)是不可微凸函数。
Bregman迭代法的作用是通过迭代的方式,逐步逼近函数f(x) + g(x)的最小值点x*。在每次迭代中,Bregman迭代法使用Bregman距离来度量两个点之间的距离,从而更快地收敛到最优解。
总体来说,Bregman迭代法在求解非光滑凸优化问题方面具有很大的作用,能够加速模型训练和提高模型性能。
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