、设某问题得到的模型为 12 min | | | | | | . nx x x s. t Ax b     其中 T nx xx ][ 1   ， A和b为相应维数的矩阵和向量。 要把上面的问题变换成线性规划问题，只要注意到事实：对任意的 i x ，存在 0, i i v u 满足， iii v ux  ， i ii v ux || 事实上，我们只要取 2 || ii i xx u   ， 2 || i i i xx v   就可以满足上面的条件。 这样，记 T nu uu ][ 1  ， T nvv v ] [ 1  ，从而我们可以把上面的问题变成    n i ii vu 1 )(min () ,0 A u v b s. t. uv     根据以上讨论，求解如下问题

首先，我们将原问题的约束条件转化成以下形式：

$$
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{u_i} + \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{v_i} + s \leq 12 \\
\Rightarrow & \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{u_i}+\frac{1}{v_i}\right)x_i + s \leq 12 \\
\Rightarrow & \begin{bmatrix}
\frac{1}{u_1} + \frac{1}{v_1} & \frac{1}{u_2} + \frac{1}{v_2} & \cdots & \frac{1}{u_n} + \frac{1}{v_n} & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ s
\end{bmatrix} \leq 12 \\
\Rightarrow & \begin{bmatrix}
\frac{1}{u_1}+\frac{1}{v_1} & \frac{1}{u_2}+\frac{1}{v_2} & \cdots & \frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n} & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ s
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ -12
\end{bmatrix} \leq 0 \\
\end{aligned}
$$

然后，我们将条件 $\forall i, \exists u_i,v_i$ 转化成以下形式：

$$
\begin{aligned}
& \forall i, \exists u_i,v_i, 0<u_i,v_i \text{ s.t. } x_i = iu_i + iv_i \\
\Rightarrow & \forall i, \exists u_i,v_i, 0<u_i,v_i \text{ s.t. } iu_i - x_i + iv_i \leq 0 \text{ and } iv_i - x_i + iu_i \leq 0 \\
\Rightarrow & \begin{bmatrix}
-i & i & 0 & \cdots & 0 \\
-i & 0 & i & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-i & 0 & 0 & \cdots & i \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u_1 \\ v_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ v_n
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
x_1 \\ -x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ -x_n
\end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

综上所述，我们得到了线性规划问题的标准形式：

$$
\begin{aligned}
\text{minimize } & \sum_{i=1}^{n} x_i \\
\text{subject to } & \begin{bmatrix}
\frac{1}{u_1}+\frac{1}{v_1} & \frac{1}{u_2}+\frac{1}{v_2} & \cdots & \frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n} & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ s
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ -12
\end{bmatrix} \leq 0 \\
& \begin{bmatrix}
-i & i & 0 & \cdots & 0 \\
-i & 0 & i & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-i & 0 & 0 & \cdots & i \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u_1 \\ v_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ v_n
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
x_1 \\ -x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ -x_n
\end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix} \\
& u_i,v_i > 0, \forall i
\end{aligned}
$$

其中 $x_i, s$ 是变量，$u_i, v_i$ 是辅助变量。