求 xy'+x+sin(x+y)=0通解

这是一个非齐次线性微分方程，可以使用一阶线性微分方程的常用解法来求解。

将方程化为标准形式：$y' + \frac{1}{x}\cdot y = -\frac{1}{x}\cdot\sin(x+y)$

首先求出齐次线性微分方程的通解：$y_h = Cx^{-1}$

再求出非齐次线性微分方程的一个特解$y_p$，可以使用常数变易法。

设$y_p = A(x)\cdot\sin(x+y) + B(x)\cdot\cos(x+y)$，带入方程得：

$$
\begin{aligned}
y_p' &= A'\sin(x+y) + B'\cos(x+y) + A\cos(x+y) - B\sin(x+y) \\
&= (A\cos(x+y) - B\sin(x+y))' + A'\sin(x+y) + B'\cos(x+y) \\
&= -x^{-1}(A\cos(x+y) - B\sin(x+y)) + A'\sin(x+y) + B'\cos(x+y)
\end{aligned}
$$

将$y_p$和$y_p'$带入方程，得到：

$$
\begin{aligned}
& -x^{-1}(A\cdot\sin(x+y) + B\cdot\cos(x+y)) + A'\cdot\sin(x+y) + B'\cdot\cos(x+y) \\
& + \frac{1}{x}(A\cdot\sin(x+y) + B\cdot\cos(x+y)) = -\frac{1}{x}\cdot\sin(x+y)
\end{aligned}
$$

整理得到：

$$
\begin{aligned}
A'\cdot\sin(x+y) + B'\cdot\cos(x+y) &= 0 \\
-A\cdot\sin(x+y) + B\cdot\cos(x+y) + x(A'\cdot\sin(x+y) + B'\cdot\cos(x+y)) &= -\sin(x+y)
\end{aligned}
$$

解得：

$$
\begin{aligned}
A &= -\frac{\cos(x)}{2} \\
B &= \frac{\sin(x)}{2} \\
A' &= -\frac{1}{2}\cos(x+y) \\
B' &= \frac{1}{2}\sin(x+y)
\end{aligned}
$$

因此，特解为$y_p = -\frac{1}{2x}\cos(x)\sin(x+y) + \frac{1}{2x}\sin(x)\cos(x+y)$

通解为$y = y_h + y_p = Cx^{-1} -\frac{1}{2x}\cos(x)\sin(x+y) + \frac{1}{2x}\sin(x)\cos(x+y)$，其中$C$为任意常数。