2.试验证y=lnx是微分方程xy"+xy'+y=lnx的一个特解;又知y=C{cos(lnx)+C,sin(In x)是对应齐次微分方程的通解,试写出x√"+xy'+y=Inx的通解.
时间: 2023-12-18 11:04:32 浏览: 81
首先,将 $y=\ln x$ 代入 $xy''+xy'+y=\ln x$ 中,可得:
$$
x\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=lnx
$$
化简后可以发现等式左右两边相等,因此 $y=\ln x$ 是微分方程 $xy''+xy'+y=\ln x$ 的一个特解。
接下来,对于对应齐次微分方程 $xy''+xy'+y=0$,我们可以将其转化为标准形式:
$$
y''+\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x}y=0
$$
然后可以使用常系数线性齐次微分方程的求解方法,假设通解为 $y=e^{mx}$,则有:
$$
m^2+\frac{1}{x}m+\frac{1}{x}=0
$$
解方程可得:
$$
m=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{1-4x}}{2x}
$$
因此,通解可以表示为:
$$
y=C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) + \int{\frac{\ln x}{x} e^{-\frac{1}{2}\ln x} dx}
$$
其中 $\int{\frac{\ln x}{x} e^{-\frac{1}{2}\ln x} dx}$ 可以使用分部积分法求解,最终通解为:
$$
y=C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) + x(\ln x-2)
$$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
相关问题
微分方程xy'+y(lnx-lny)=0满足条件y(1)=e^3的解为y=?
首先,根据方程xy'y(lnx-lny)=0,我们可以将其分为两个方程:
- x=0,此时y可以是任意值;
- y(lnx-lny)=0,即lnx=lny,即x=y。
将x=y代入原方程得到:
x·y'=0
解得y=C,其中C为常数。由于题目给出了条件y(1)=e^3,所以C=e^3,因此解为y=e^3。
请告诉我思路:若直线y = kx + b是曲线y = lnx + 2的切线,也是曲线y = ln(x +1 )的切线,求出b的值
首先,我们可以利用求导的方法来求出曲线 $y=lnx+2$ 和 $y=ln(x+1)$ 的切线斜率。
对于 $y=lnx+2$,它的导函数为 $y' = \frac{1}{x}$,在 $x_0$ 处的切线斜率为 $k_1 = \frac{1}{x_0}$。
对于 $y=ln(x+1)$,它的导函数为 $y' = \frac{1}{x+1}$,在 $x_1$ 处的切线斜率为 $k_2 = \frac{1}{x_1+1}$。
由于直线 $y=kx+b$ 是两个曲线的切线,所以它的斜率 $k$ 必须等于 $k_1$ 和 $k_2$ 中的一个。
因此,我们可以列出方程组:
$$
\begin{cases}
k = \frac{1}{x_0} \\
k = \frac{1}{x_1+1}
\end{cases}
$$
解得 $x_0 = \frac{1}{k}$,$x_1 = \frac{1}{k}-1$。
接下来,我们可以利用求切线的方法来求出直线 $y=kx+b$ 的截距 $b$。
对于曲线 $y=lnx+2$,在 $x_0$ 处的切线方程为 $y - (lnx_0+2) = \frac{1}{x_0}(x - x_0)$。
因为直线 $y=kx+b$ 是该切线,所以我们可以将 $k = \frac{1}{x_0}$ 代入,得到:
$$
y - (lnx_0+2) = x - 1
$$
对于曲线 $y=ln(x+1)$,在 $x_1$ 处的切线方程为 $y - (ln(x_1+1)+1) = \frac{1}{x_1+1}(x - x_1)$。
同样地,因为直线 $y=kx+b$ 是该切线,我们可以将 $k = \frac{1}{x_1+1}$ 代入,得到:
$$
y - (ln(x_1+1)+1) = x - x_1 - 1
$$
由于直线 $y=kx+b$ 是两个切线,所以它们必须在点 $(x_0,lnx_0+2)$ 和 $(x_1,ln(x_1+1)+1)$ 上相交。
因此,我们可以将上面两个方程联立,解得:
$$
b = ln(x_0+1) - x_0 = ln(x_1+2) - x_1 - 1
$$
将 $x_0$ 和 $x_1$ 的表达式代入,得到:
$$
b = ln(\frac{1}{k}+1) - \frac{1}{k} = ln(\frac{1}{k}-1+2) - \frac{1}{k} - 1
$$
化简后得到:
$$
b = ln(\frac{2k}{k-1}) - \frac{1}{k} - 1
$$
因此,我们可以通过求出曲线 $y=lnx+2$ 和 $y=ln(x+1)$ 的切线斜率,以及利用相交点的方式求出直线 $y=kx+b$ 的截距 $b$,从而得到 $b$ 的值。
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