QR分解解决列满秩最小二乘问题matlab程序
时间: 2023-08-05 14:10:39 浏览: 46
以下是用QR分解解决列满秩最小二乘问题的MATLAB代码:
```matlab
function [x,resnorm] = lsqr_qr(A,b)
%列满秩最小二乘问题的QR分解解法
[Q,R] = qr(A,0); %QR分解
x = R\(Q'*b); %解方程
resnorm = norm(b - A*x); %计算残差范数
end
```
在这个程序中,我们使用MATLAB内置的`qr`函数进行QR分解,然后利用QR分解求解最小二乘问题。函数返回的$x$是最小二乘解,`resnorm`是残差范数。注意,我们在调用`qr`函数时,第二个输入参数为0,表示只对$A$进行经典的(非紧凑的)QR分解,得到的$Q$和$R$矩阵的维度与$A$相同。如果第二个输入参数为1,则进行紧凑的QR分解,得到的$Q$和$R$矩阵的维度可能会比$A$小。
相关问题
用QR分解法求解最小二乘问题matlab
在 MATLAB 中,可以使用 QR 分解来求解最小二乘问题。具体步骤如下:
1. 假设有一个线性方程组 Ax=b,其中 A 是 m×n 的矩阵,m>n。则最小二乘问题可以表示为 min ||Ax-b||。
2. 对 A 进行 QR 分解,得到 QR=A,其中 Q 是一个 m×m 的正交矩阵,R 是一个 m×n 上三角矩阵。
3. 将最小二乘问题转化为 min ||Rx-Q^Tb||,其中 Q^T 是 Q 的转置。
4. 利用 MATLAB 中的反斜杠符号(\)求解这个新的线性方程组,即 R*x=Q^T*b。这里 x 就是最小二乘解。
下面是一个 MATLAB 代码示例:
```matlab
% 构造矩阵 A 和向量 b
A = [1 2; 3 4; 5 6];
b = [7; 8; 9];
% 进行 QR 分解
[Q,R] = qr(A);
% 求解最小二乘问题
x = R\(Q'*b);
% 输出结果
disp(x);
```
在这个示例中,A 是一个 3×2 的矩阵,b 是一个 3×1 的向量。通过 QR 分解得到 Q 和 R,然后利用反斜杠符号求解最小二乘问题。最终输出的 x 就是最小二乘解。
利用QR分解求解最小二乘问题matlab示例
假设有一个线性方程组 $Ax=b$,其中 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵,$b$ 是 $m\times 1$ 的向量。最小二乘问题就是要找到一个 $n\times 1$ 的向量 $x$,使得 $\left\| Ax-b \right\|$ 最小。
利用 QR 分解可以求解最小二乘问题。具体步骤如下:
1. 对 $A$ 进行 QR 分解,得到 $A=QR$,其中 $Q$ 是 $m\times m$ 的正交矩阵,$R$ 是 $m\times n$ 的上三角矩阵。
2. 将方程组 $Ax=b$ 变形成 $QRx=b$,即 $Rx=Q^Tb$。
3. 由于 $R$ 是上三角矩阵,可以使用回代法求解 $Rx=Q^Tb$。
4. 解得 $x$。
下面是 MATLAB 代码示例:
```matlab
% 生成随机矩阵A和向量b
m = 5;
n = 3;
A = randn(m, n);
b = randn(m, 1);
% 对A进行QR分解
[Q, R] = qr(A);
% 将方程组Ax=b变成QRx=b
b_hat = Q' * b;
% 回代求解Rx=Q'b
x = zeros(n, 1);
for i = n:-1:1
x(i) = (b_hat(i) - R(i, i+1:n)*x(i+1:n)) / R(i, i);
end
% 输出结果
disp(x);
```
这段代码生成一个 $5\times 3$ 的随机矩阵 $A$ 和一个随机向量 $b$,然后对 $A$ 进行 QR 分解,求解最小二乘问题,最后输出解 $x$。