用QR分解法求解最小二乘问题min ||Ax-b||2matlab

在 MATLAB 中，可以使用 `qr` 函数来实现 QR 分解，进而求解最小二乘问题。

具体步骤如下：

1. 将原问题转化为增广矩阵形式：$[A \quad b]$
2. 对增广矩阵进行 QR 分解：$[Q, R] = qr([A \quad b])$
3. 将 $Q$ 和 $R$ 分解成子矩阵：

$Q = \begin{bmatrix} Q_1 & Q_2 \end{bmatrix},\quad R = \begin{bmatrix} R_1 \\ 0 \end{bmatrix}$

其中，$Q_1$ 是 $m\times n$ 的正交矩阵，$R_1$ 是 $n\times n$ 的上三角矩阵。

4. 将 $R_1$ 分解成对角矩阵和非对角矩阵：

$R_1 = \begin{bmatrix} R_d \\ 0 \end{bmatrix} + R_e$

其中，$R_d$ 是 $n\times n$ 的对角矩阵，$R_e$ 是 $n\times n$ 的严格上三角矩阵。

5. 则原问题的最小二乘解为：$x = R_d^{-1}Q_1^Tb$

下面给出 MATLAB 代码实现：

function x = lsqr_qr(A, b)
% QR 分解求解最小二乘问题
[m, n] = size(A);
[Q, R] = qr([A, b]);
Q1 = Q(:, 1:n);
R1 = R(1:n, 1:n);
Rd = diag(diag(R1));
Re = R1 - Rd;
x = Rd \ (Q1.' * b);
end

其中，输入参数 `A` 是 $m\times n$ 的矩阵，`b` 是 $m\times 1$ 的向量；输出变量 `x` 是 $n\times 1$ 的最小二乘解。