用递归法求背包问题
时间: 2023-07-07 10:18:11 浏览: 59
背包问题是一个经典的动态规划问题,它的递归解法称为“0/1背包问题”。
假设有一个容量为C的背包和n个物品,每个物品有一个重量w和一个价值v。现在需要选择一些物品放入背包中,使得背包中物品的总重量不超过C,同时使得背包中物品的总价值最大。那么我们可以定义一个递归函数来解决这个问题:
```
f(i, c) = max{ f(i-1, c), f(i-1, c-w[i]) + v[i] }
```
其中,f(i, c)表示前i个物品放入容量为c的背包中所能获得的最大价值。如果第i个物品不放入背包中,则f(i, c)等于f(i-1, c);如果第i个物品放入背包中,则f(i, c)等于f(i-1, c-w[i]) + v[i]。
这个递归函数的终止条件是i=0或c=0,此时f(i, c)等于0。
最终,我们可以通过调用f(n, C)得到最终的结果。
需要注意的是,这个递归函数存在重复计算的问题,可以通过记忆化搜索或动态规划来优化。
相关问题
背包问题回溯法非递归
背包问题是一个经典的组合优化问题,其中给定一组物品和一个背包,每个物品都有自己的重量和价值。目标是找到一种最佳的方式将物品放入背包中,使得背包中物品的总价值最大,同时不能超过背包的容量限制。
背包问题可以使用回溯法来解决,回溯法是一种通过穷举所有可能的解来找到最优解的方法。下面是背包问题的回溯法非递归实现的示例代码:
```python
def knapsack_non_recursive(weights, values, capacity):
n = len(weights)
best_value = 0
best_solution = [0] * n
stack = [(0, 0, 0, [])] # (当前物品索引, 当前重量, 当前价值, 当前解)
while stack:
i, cur_weight, cur_value, cur_solution = stack.pop()
if i == n:
if cur_value > best_value:
best_value = cur_value
best_solution = cur_solution
else:
# 不放入当前物品
stack.append((i + 1, cur_weight, cur_value, cur_solution))
# 放入当前物品
if cur_weight + weights[i] <= capacity:
stack.append((i + 1, cur_weight + weights[i], cur_value + values[i], cur_solution + [i]))
return best_value, best_solution
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
capacity = 8
best_value, best_solution = knapsack_non_recursive(weights, values, capacity)
print("Best value:", best_value)
print("Best solution:", best_solution)
```
这段代码使用一个栈来模拟递归的过程,通过不断地将下一个状态压入栈中,直到找到最优解为止。在每个状态中,我们可以选择放入当前物品或者不放入当前物品,然后继续向下搜索。
回溯法求01背包问题
回溯法是一种用于解决组合优化问题的有效算法,特别是针对像背包问题这样的决策树搜索问题。在01背包问题中,给定一组物品(每个物品有自己的价值和重量),以及一个背包的最大容量,目标是确定哪些物品应该放入背包以最大化总价值,同时确保不超过背包的承重限制。由于每个物品的选择都可能影响最终的解决方案,所以需要一种方法来探索所有可能的选择。
在回溯法中,我们采用递归的方式进行搜索。下面是基本的步骤:
1. **初始状态**:设置一个空的背包,当前背包容量为0,所有物品都未选择。
2. **选择/不选择**:对于当前物品,如果背包还有空间(即剩余容量大于物品重量),可以选择它,将物品的价值加入总价值并减去物品重量从背包容量;如果不选,则保持原样。
3. **递归**:对剩余未选择的物品,递归地尝试这两种选择,并记录下最优解。当所有物品都被处理过,返回到上一层,检查当前的选择是否比之前更好。
4. **剪枝**:如果当前选择导致的总价值小于当前最佳值,那么就可以提前结束当前路径,因为不可能有更好的结果。
5. **回溯**:当到达某个节点没有更好的解时,回溯到前一步,尝试其他的可能性。
6. **终止条件**:当所有物品都不再可用或者背包已满,搜索结束,返回最大价值。
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