(算法设计, 40分) 有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。请设计一个动态规划算法选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个矩形外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。（请先给出算法思路和递推式，再写伪代码，分析复杂度） 输入： 第一行是一个正数N(0<N)，表示测试数据组数， 每组测试数据的第一行是一个正整数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)。 随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽。 输出： 每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行 样例输入： 1 10 1 2 2 4 5 8 6 10 7 9 3 1 5 8 12 10 9 7 2 2 样例输出： 5用c++写伪代码，写出递推式

算法思路：

首先需要将矩形按照长度从小到大排序，这样在后续的选择中可以避免后面的矩形无法嵌套到前面的矩形中。

定义dp数组，其中dp[i]表示以第i个矩形为结尾的最多符合条件的矩形数目。初始化dp数组为1，因为每个矩形自身也是符合条件的。

接着使用双重循环进行dp转移，对于每个i和j（i<j），如果第j个矩形可以嵌套到第i个矩形中，则更新dp[j]为max(dp[j], dp[i]+1)。

最后遍历dp数组，找到其中的最大值，即为所求的最多符合条件的矩形数目。

递推式：

dp[i] = 1 （i=1,2,3,...,n）

dp[j] = max(dp[j], dp[i]+1) （i<j，且第j个矩形可以嵌套到第i个矩形中）

伪代码：

sort(rectangles) // 按照长度从小到大排序
dp[1...n] = 1 // 初始化
for j = 2 to n do
for i = 1 to j-1 do
if rectangles[j].a > rectangles[i].a and rectangles[j].b > rectangles[i].b
or rectangles[j].a > rectangles[i].b and rectangles[j].b > rectangles[i].a
then dp[j] = max(dp[j], dp[i]+1)
max_count = max(dp[1...n]) // 找到最大值
return max_count

复杂度分析：

时间复杂度为O(n^2)，因为需要遍历每个矩形对其进行dp转移，所以时间复杂度是二次的。空间复杂度为O(n)，因为需要定义一个长度为n的dp数组来存储中间状态。