Jacobi迭代与SOR迭代求解希尔伯特矩阵

希尔伯特矩阵是一种具有特殊结构的矩阵，其元素为 $H_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}$。由于这种矩阵的条件数非常大，因此解线性方程组时往往需要使用迭代方法。

Jacobi迭代和SOR迭代都是求解线性方程组的迭代方法。对于希尔伯特矩阵，这两种方法的收敛速度都非常慢，但SOR迭代的收敛速度要比Jacobi迭代快一些。

Jacobi迭代的公式为：

$$
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i-\sum_{j\neq i}a_{i,j}x_j^{(k)}\right),\quad i=1,2,\dots,n
$$

其中 $x^{(k)}$ 表示第 $k$ 次迭代时的解向量，$a_{i,j}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，$b_i$ 表示方程组的右端项，$n$ 表示方程组的未知数个数。

SOR迭代的公式为：

$$
x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{i,i}}\left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{i,j}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^na_{i,j}x_j^{(k)}\right),\quad i=1,2,\dots,n
$$

其中 $\omega$ 是松弛因子，一般取值为 $1$ 到 $2$ 之间。当 $\omega=1$ 时，SOR迭代就退化成了Jacobi迭代。

需要注意的是，当矩阵 $A$ 是希尔伯特矩阵时，Jacobi迭代和SOR迭代的收敛速度都非常慢，因此在实际应用中往往需要使用其他更加高效的方法。