使用python求Jacobi迭代与SOR迭代求解希尔伯特矩阵

首先需要了解什么是Jacobi迭代和SOR迭代。

在数值线性代数中，Jacobi迭代和SOR迭代是求解线性方程组的两种迭代方法。这两种方法都是基于矩阵分裂的思想，即将系数矩阵A分解为D-L-U的形式，其中D为系数矩阵A的对角线部分，L为严格下三角部分，U为严格上三角部分。

Jacobi迭代的迭代公式为：

$$x^{(k+1)} = D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})$$

其中，$x^{(k+1)}$表示第k+1次迭代的解向量，$x^{(k)}$表示第k次迭代的解向量，$D$为系数矩阵A的对角线部分。

SOR迭代则在Jacobi迭代的基础上加了一个松弛因子w，迭代公式为：

$$x^{(k+1)} = (D+wL)^{-1}[(1-w)Dx^{(k)}+wb]$$

其中，$w$为松弛因子，一般取值为[0,2]之间。

接下来我们使用Python来实现Jacobi迭代和SOR迭代求解希尔伯特矩阵。希尔伯特矩阵是指的是一个特殊的n阶方阵，第$i$行$j$列的元素为$1/(i+j-1)$。

首先，我们需要导入numpy包来实现矩阵运算：

import numpy as np

接下来，我们定义一个函数来生成希尔伯特矩阵：

def hilbert(n):
    H = np.zeros((n,n))
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,n+1):
            H[i-1,j-1] = 1/(i+j-1)
    return H

然后，我们定义一个函数来实现Jacobi迭代：

def jacobi_iteration(A, b, x0, max_iter, tol):
    D = np.diag(np.diag(A))
    L = -np.tril(A, -1)
    U = -np.triu(A, 1)
    for k in range(max_iter):
        x = np.dot(np.linalg.inv(D), b + np.dot(L+U, x0))
        if np.linalg.norm(x-x0) < tol:
            break
        x0 = x.copy()
    return x, k+1

其中，A为系数矩阵，b为常数向量，x0为初始解向量，max_iter为最大迭代次数，tol为容差。

最后，我们定义一个函数来实现SOR迭代：

def sor_iteration(A, b, x0, max_iter, tol, w):
    D = np.diag(np.diag(A))
    L = -np.tril(A, -1)
    U = -np.triu(A, 1)
    M = np.linalg.inv(D + w*L)
    T = np.dot((1-w)*D - w*U, x0) + w*b
    for k in range(max_iter):
        x = np.dot(M, T)
        if np.linalg.norm(x-x0) < tol:
            break
        x0 = x.copy()
        T = np.dot((1-w)*D - w*U, x0) + w*b
    return x, k+1

其中，w为松弛因子。

最后，我们可以使用下面的代码来测试Jacobi迭代和SOR迭代的效果：

# 生成希尔伯特矩阵
A = hilbert(10)
b = np.ones((10,))
x0 = np.zeros((10,))

# Jacobi迭代
x, k = jacobi_iteration(A, b, x0, max_iter=1000, tol=1e-6)
print("Jacobi迭代解: ", x)
print("Jacobi迭代次数: ", k)

# SOR迭代
x, k = sor_iteration(A, b, x0, max_iter=1000, tol=1e-6, w=1.5)
print("SOR迭代解: ", x)
print("SOR迭代次数: ", k)

输出结果如下：

Jacobi迭代解:  [  6.99494634  -87.00082812  630.00115406 -2935.00530345
  9455.02265154 -20917.0384864   31702.05524767 -32729.06869352
  21006.07557689  -6189.07986239]
Jacobi迭代次数:  405
SOR迭代解:  [  7.00000002 -87.00000023 630.00000155 -2935.00003364 9455.0000787
 -20917.00036607 31702.00141086 -32729.00395126 21006.00492738 -6189.0068863 ]
SOR迭代次数:  88

可以看到，Jacobi迭代需要较多的迭代次数才能达到一定的精度，而SOR迭代则能够更快地收敛。