python实现Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解线性方程组

Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均是解线性方程组的迭代方法。下面分别介绍它们的实现方法。

Jacobi迭代法

Jacobi迭代法的公式为：

$$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1,j\neq i}^na_{ij}x_j^{(k)}\right),\quad i=1,2,\cdots,n$$

其中，$a_{ij}$是系数矩阵，$b_i$是常数向量，$x_i^{(k)}$是第$k$次迭代中$x_i$的近似值。

下面是Python实现Jacobi迭代法的代码：

import numpy as np

def jacobi(A, b, x0, tol=1e-6, max_iter=100):
    n = len(A)
    x = x0.copy()
    for k in range(max_iter):
        x_new = np.zeros(n)
        for i in range(n):
            s = 0
            for j in range(n):
                if j != i:
                    s += A[i, j] * x[j]
            x_new[i] = (b[i] - s) / A[i, i]
        if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
            return x_new
        x = x_new
    return x

其中，`A`和`b`分别是系数矩阵和常数向量，`x0`是初始解，`tol`是迭代收敛的容许误差，`max_iter`是最大迭代次数。函数返回迭代得到的近似解。

Gauss-Seidel迭代法

Gauss-Seidel迭代法的公式为：

$$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j^{(k)}\right),\quad i=1,2,\cdots,n$$

其中，$a_{ij}$是系数矩阵，$b_i$是常数向量，$x_i^{(k)}$是第$k$次迭代中$x_i$的近似值。

下面是Python实现Gauss-Seidel迭代法的代码：

import numpy as np

def gauss_seidel(A, b, x0, tol=1e-6, max_iter=100):
    n = len(A)
    x = x0.copy()
    for k in range(max_iter):
        for i in range(n):
            s1 = sum(A[i, j] * x[j] for j in range(i))
            s2 = sum(A[i, j] * x[j] for j in range(i+1, n))
            x[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i, i]
        if np.linalg.norm(A @ x - b) < tol:
            return x
    return x

其中，`A`和`b`分别是系数矩阵和常数向量，`x0`是初始解，`tol`是迭代收敛的容许误差，`max_iter`是最大迭代次数。函数返回迭代得到的近似解。