正整数次方的矩阵迹为0,这个矩阵是幂零矩阵
时间: 2023-12-03 21:02:51 浏览: 13
如果一个矩阵的正整数次方的迹为0,则这个矩阵一定是幂零矩阵。
证明如下:
假设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵,且 $A^k$ 的迹为0,其中 $k$ 是一个正整数。
考虑 $A^{2k}$,由迹的性质可知:
$$
\operatorname{tr}(A^{2k}) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i^{2k}
$$
其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。因为 $A^{2k}=(A^k)^2$,所以 $A^k$ 的特征值为 $\lambda_i^k$。
因此,$\operatorname{tr}(A^{2k}) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i^{2k} = \sum_{i=1}^{n}(\lambda_i^k)^2$。
因为 $\lambda_i^k$ 是 $A^k$ 的特征值,故 $\lambda_i^k = 0$。因此,$\operatorname{tr}(A^{2k}) = \sum_{i=1}^{n}(\lambda_i^k)^2 = 0$。
又因为 $\operatorname{tr}(A^{2k})=0$,根据迹的性质,$\operatorname{tr}(A^{2k})=\operatorname{tr}(A^{k}A^{k})=\operatorname{tr}(A^{k}A^{k})=\operatorname{tr}(A^{k+1}A^{k-1})$。
因此,$\operatorname{tr}(A^{k+1}A^{k-1}) = 0$。
再次利用迹的性质,得到:
$$
\operatorname{tr}(A^{k+1}A^{k-1}) = \sum_{i=1}^{n}(\lambda_i^{k+1}\lambda_i^{k-1}) = \sum_{i=1}^{n}(\lambda_i^{k})^2 = 0
$$
因此,$\lambda_i^{k}=0$,即 $A^k$ 的特征值都为0,即 $A^k$ 是幂零矩阵。因此,原矩阵 $A$ 也是幂零矩阵。