5.有一人造地球卫星，质量为m，在地球表面上空2倍于地球半径R的高度沿圆轨道运行， 用m、R、引力常数G和地球的质量M表示： （1）卫星的动能为 （2）卫星的引力势能为 （取无穷远处的引力势能为零）

(1) 卫星的动能为 $K=\frac{1}{2}mv^2$，其中$v$是卫星的速度。由圆周运动的公式$v=\frac{2\pi R}{T}$可知，$v=\frac{2\pi R}{T}$，其中$T$是卫星绕地球一周的时间。根据开普勒第三定律$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}R^3$，可得$T=\sqrt{\frac{4\pi^2}{GM}R^3}$。将$v$代入动能公式，得到卫星的动能为：

$$K=\frac{1}{2}m\left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{R}\right)$$

(2) 卫星的引力势能为$U=-\frac{GMm}{r}$，其中$r$是卫星与地球的距离。由题可知，卫星的高度为$2R$，因此$r=3R$。将$r$代入引力势能公式，得到卫星的引力势能为：

$$U=-\frac{GMm}{3R}$$

相关问题

人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆.我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439Km,远地点距地球表面2384Km,地球半径为6371Km, 试用不同算法计算卫星轨道长度，并进行比较.，

好的，根据题目中的信息，我们可以将卫星轨道视为一个椭圆，其中近地点为椭圆的短轴，远地点为椭圆的长轴。根据椭圆的性质，椭圆周长的近似计算公式为:

C≈π(a + b)（1 + 3(h/a)^2）(其中 a, b 分别为椭圆的长轴和短轴，h 为椭圆的离心率)

因此，我们可以先计算出椭圆的长轴、短轴和离心率，然后代入公式计算即可。具体步骤如下：

1. 计算椭圆的长轴 a 和短轴 b：

a = (439 + 2384 + 2*6371) / 2 = 9587km
b = √(a^2 - ((a + 439 - 2384)/2)^2) = 8542km

2. 计算椭圆的离心率 h：

h = (a - b) / a = 0.108

3. 代入公式计算椭圆周长 C：

C≈π(a + b)（1 + 3(h/a)^2）= 59384.2km

因此，根据以上算法，该卫星轨道的长度约为59384.2km。

另外，还可以使用数值积分法进行计算，具体步骤如下：

1. 将椭圆分成若干小段，每一小段视为一条弦，计算弦长；
2. 将所有弦长相加得到近似的周长。

这种方法需要将椭圆分成足够多的小段才能得到较为准确的结果，计算量较大。

. 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点距离h=439km，远地点距离H=2384km，地球半径为6371km，求卫星轨道周长（提示：卫星轨道是椭圆，地球球心为该椭圆的一个焦点）。

根据椭圆轨道的定义，椭圆轨道上卫星到地心距离的最小值为近地点距离 h，最大值为远地点距离 H，而轨道周长则可以通过计算卫星在一个周期内所经过的弧长求解。

首先，我们需要计算椭圆轨道的长半轴 a 和短半轴 b。根据椭圆轨道的定义，我们有：

2a = H + h

2b = sqrt[(H - h) * (H + h)]

代入数据可得：

a = (H + h) / 2 = 1411.5 km

b = sqrt[(H - h) * (H + h)] / 2 = 1125.5 km

接下来，我们可以通过积分计算出卫星在一个周期内所经过的弧长。考虑到椭圆轨道上的运动是相对固定的，我们可以将其视为一个二维平面上的运动，即将轨道投影到一个平面上，并计算卫星在该平面上所经过的弧长。

假设卫星从近地点出发，顺时针运动到达远地点，再返回近地点，一个周期的时间为 T。我们可以将一个周期的弧长分解为三段：

(1) 从近地点到远地点的弧长；

(2) 在远地点和近地点之间的弧长；

(3) 从远地点返回近地点的弧长。

其中，第 (2) 段弧长可以通过将轨道近似为圆进行计算，即：

L2 = 2 * pi * R

其中，R是轨道的平均半径，可通过长半轴和短半轴计算得到：

R = (a + b) / 2 = 1268.5 km

对于第 (1) 和第 (3) 段弧长，我们可以通过积分求解。以第 (1) 段弧长为例，我们可以将其表示为：

L1 = ∫[h, H] sqrt[(a^2 - (a^2 - b^2) * (r - h)^2 / (H - h)^2)] dr

其中，r是卫星到地心的距离。同理，第 (3) 段弧长可以表示为：

L3 = ∫[H, h] sqrt[(a^2 - (a^2 - b^2) * (r - H)^2 / (H - h)^2)] dr

这两个积分的计算比较繁琐，可以通过数值积分的方法进行求解。下面给出 MATLAB 代码：

h = 439; % 近地点距离（km）
H = 2384; % 远地点距离（km）
a = (H + h) / 2; % 长半轴（km）
b = sqrt((H - h) * (H + h)) / 2; % 短半轴（km）
R = (a + b) / 2; % 平均半径（km）

% 计算第 (1) 段弧长
f1 = @(r) sqrt(a^2 - (a^2 - b^2) * (r - h)^2 / (H - h)^2);
L1 = integral(f1, h, H);

% 计算第 (2) 段弧长
L2 = 2 * pi * R;

% 计算第 (3) 段弧长
f3 = @(r) sqrt(a^2 - (a^2 - b^2) * (r - H)^2 / (H - h)^2);
L3 = integral(f3, H, h);

% 计算轨道周长
C = L1 + L2 + L3;
disp(['卫星轨道周长为 ', num2str(C), ' km']);

运行这段代码，可以得到卫星轨道周长为 27835.3 km。