对阻尼单摆所遵循的方程，若γ为小参数ε，求其两项一致有效渐近解

阻尼单摆所遵循的方程为：
$$
\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\gamma\frac{d\theta}{dt}+\frac{g}{l}\sin(\theta)=0
$$
其中，$\theta$ 为摆的偏角，$t$ 为时间，$g$ 为重力加速度，$l$ 为摆长，$\gamma$ 为摆的阻尼系数。

当 $\gamma$ 为小参数 $\epsilon$ 时，我们可以将其拆分成两个形式相同的项，即：
$$
\gamma=\frac{\epsilon}{2},\qquad 2\gamma=\epsilon
$$
做变量替换：
$$
\tau=\epsilon t
$$
并设摆的偏角为 $\theta(\tau)$，则原方程可以改写为：
$$
\epsilon\frac{d^2\theta}{d\tau^2}+\epsilon^2\frac{d\theta}{d\tau}+\frac{g}{l}\sin(\theta)=0
$$
我们可以尝试用级数展开来求解该方程。设解为：
$$
\theta(\tau)=\sum_{n=0}^{\infty}\epsilon^n\theta_n(\tau)
$$
将其代入原方程并按 $\epsilon$ 的幂次逐项比较得到：
$$
\begin{aligned}
&O(\epsilon^0):\quad \frac{g}{l}\sin(\theta_0)=0\quad\Rightarrow\quad\theta_0=\pi k\quad(k\in\mathbb{Z})\\
&O(\epsilon^1):\quad \frac{d^2\theta_0}{d\tau^2}+\frac{g}{l}\sin(\theta_1)=0\\
&O(\epsilon^2):\quad \frac{d^2\theta_1}{d\tau^2}+\frac{g}{l}\sin(\theta_2)=-\frac{d\theta_0}{d\tau}\\
&\qquad\qquad\vdots
\end{aligned}
$$
由于 $\theta_0$ 可以取不同的值，为了使解的一致有效，我们需要对不同的 $\theta_0$ 的解进行匹配。这里我们只考虑 $\theta_0=0$ 的情况。则一致有效渐近解为：
$$
\theta(\tau)=\epsilon\left(\frac{g}{l}\right)^{\frac{1}{2}}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\tau\right)
$$