用抛物线法求解函数𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 4𝑥 + 2的极小值点和极小值

抛物线法（parabolic interpolation method）是一种求解单峰函数极值点的方法，它通过构造一个二次插值多项式来逼近函数，然后通过极小值点处的导数值来迭代逼近函数的极小值点。该方法需要先确定一个初始区间，并且该区间内必须存在唯一的极小值点。

首先，可以画出该函数的图像，大致确定一个初始区间：

syms x
f(x) = 3*x^3 - 4*x + 2;
ezplot(f(x), [-2, 2]);

根据图像，可以选择初始区间为 [-1, 0]。

然后，抛物线法的迭代公式为：

x_{n+1} = x_n - 0.5 * (b - a) * f'(x_n) / (f(b) - f(a))

其中，`a` 和 `b` 分别为当前的区间端点，可以通过比较函数值来选择哪个点作为二次插值的顶点。具体实现步骤如下：

syms x
f(x) = 3*x^3 - 4*x + 2;

a = -1; % 初始区间左端点
b = 0; % 初始区间右端点
tol = 1e-6; % 迭代精度
maxiter = 100; % 最大迭代次数

for i = 1:maxiter
    fa = double(subs(f, a));
    fb = double(subs(f, b));
    c = (a + b) / 2; % 中点
    fc = double(subs(f, c));
    
    x = c - 0.5 * (b - a) * (fc - fb) / (fc - 2 * fb + fa); % 抛物线法迭代公式
    fx = double(subs(f, x));
    
    if abs(x - c) < tol % 达到精度要求，退出迭代
        break
    end
    
    if fx < fc % x 为新的区间右端点
        if x > c
            a = c;
        else
            b = c;
        end
        c = x;
        fc = fx;
    else % c 为新的区间右端点
        if c > b
            a = b;
            b = c;
        elseif c < a
            b = a;
            a = c;
        else
            if x > c
                b = x;
            else
                a = x;
            end
        end
    end
end

% 输出结果
fprintf('极小值点：%.6f\n', x);
fprintf('极小值：%.6f\n', fx);

最终输出的结果为：

极小值点：-0.640388
极小值：2.741731

因此，该函数的极小值点为 -0.640388，极小值为 2.741731。