动态规划:添加最少括号数问题
时间: 2023-07-08 17:25:45 浏览: 74
好的,我来为您解答动态规划中添加最少括号数问题。
给定一个由左右括号组成的字符串S,您需要向其中添加最少的括号,使得新字符串是一个合法的由左右括号组成的字符串。合法的字符串满足以下两个条件:
1. 左右括号数量相等。
2. 对于每一个左括号,都有一个右括号与之对应。
例如,"(()" 和 "())" 都不是合法的字符串,而 "(())" 是一个合法的字符串。
解决这个问题的关键在于定义状态和状态转移方程。我们可以定义状态dp[i][j]表示将S[i:j]变成合法字符串需要添加的最少括号数。
对于状态dp[i][j],有以下几种情况:
1. S[i]和S[j]是一对匹配的括号,例如"(...)"或"(...)". 这种情况下,只需要考虑S[i+1:j-1]即可,因为这个子串中的所有括号都已经被匹配了。因此有dp[i][j] = dp[i+1][j-1]。
2. S[i]和S[j]不是一对匹配的括号。这种情况下,我们需要添加一对新的括号,使得S[i:j]变成合法的字符串。具体来说,可以添加左括号和右括号,也可以添加右括号和左括号。因此有dp[i][j] = min(dp[i+1][j]+1, dp[i][j-1]+1)。其中,dp[i+1][j]+1表示在S[i+1:j]前面添加一个左括号,dp[i][j-1]+1表示在S[i:j-1]后面添加一个右括号。
3. S[i]和S[j]不能确定是否是一对匹配的括号。这种情况下,我们需要枚举一个位置k,将S[i:j]分成两个部分S[i:k]和S[k+1:j],分别求出它们变成合法字符串需要添加的最少括号数。因此有dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j]),其中i <= k < j。
最终的答案就是dp[0][n-1],其中n是字符串S的长度。
希望能够帮助到您!