矢量积法求解雅可比矩阵
时间: 2023-11-11 16:03:26 浏览: 36
矢量积法是一种用于求解雅可比矩阵的数值方法。它的基本思想是将雅可比矩阵的每一列表示为向量的线性组合,然后使用向量积的形式来计算每一列。具体来说,假设有一个多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,那么它的雅可比矩阵为:
$$
J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix}
$$
我们可以将其表示为向量的线性组合:
$$
J = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}_i
$$
其中 $\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}_i$ 表示第 $i$ 个分量为 $1$,其余分量为 $0$ 的列向量。然后,我们可以使用向量积的形式来计算每一列:
$$
\dfrac{\partial f}{\partial x_i} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}_i = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix}_i
$$
其中 $\times$ 表示向量积。这样,我们就可以用向量积的形式逐列计算雅可比矩阵。
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