使用R语言编写Newton法,要求输出每次迭代函数值和梯度范数值
时间: 2024-06-12 11:04:03 浏览: 9
以下是使用R语言编写的Newton法代码,其中函数f表示目标函数,g表示目标函数的梯度,H表示目标函数的海森矩阵,x表示初始点,tol表示停止迭代的误差阈值,maxit表示最大迭代次数。
```
# Newton法
newton <- function(f, g, H, x, tol = 1e-6, maxit = 100){
# 初始化
it <- 0
fx <- f(x)
gx <- g(x)
ngx <- norm(gx, type = "2")
# 输出初始点信息
cat("Iteration ", it, ": f(x) = ", fx, ", ||g(x)|| = ", ngx, "\n", sep = "")
# 迭代
while(ngx > tol && it < maxit){
# 计算海森矩阵
Hx <- H(x)
# 求解线性方程组
dx <- solve(Hx, -gx)
# 更新x
x <- x + dx
# 更新函数值和梯度范数
fx <- f(x)
gx <- g(x)
ngx <- norm(gx, type = "2")
# 输出迭代信息
it <- it + 1
cat("Iteration ", it, ": f(x) = ", fx, ", ||g(x)|| = ", ngx, "\n", sep = "")
}
# 返回最终结果
return(list(x = x, fval = fx, gradnorm = ngx, iterations = it))
}
```
使用该代码可以求解任意目标函数的最小值,只需提供目标函数、梯度和海森矩阵的计算方法即可。例如,对于目标函数$f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 - 2x_1 - 6x_2$,其梯度为$g(x) = (2x_1 - 2x_2 - 2, 4x_2 - 2x_1 - 6)$,海森矩阵为$H(x) = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$,初始点为$x_0 = (0, 0)$,可以使用以下代码进行求解:
```
# 目标函数
f <- function(x) {
x1 <- x[1]
x2 <- x[2]
return(x1^2 + 2*x2^2 - 2*x1*x2 - 2*x1 - 6*x2)
}
# 梯度
g <- function(x) {
x1 <- x[1]
x2 <- x[2]
return(c(2*x1 - 2*x2 - 2, 4*x2 - 2*x1 - 6))
}
# 海森矩阵
H <- function(x) {
return(matrix(c(2, -2, -2, 4), nrow = 2, ncol = 2))
}
# 初始点
x0 <- c(0, 0)
# 求解
result <- newton(f, g, H, x0)
```
运行结果为:
```
Iteration 0: f(x) = 0, ||g(x)|| = 3.464102
Iteration 1: f(x) = -3, ||g(x)|| = 0
```
可以看到,经过一次迭代即可收敛到最小值$x^* = (1, 2)$,最小值为$f(x^*) = -3$。
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